低阶方阵的高次幂的计算技巧

田凯

摘要：方阵的高次幂的计算是线性代数、矩阵理论中的常见问题。本文结合实例介绍了利用特征多项式、最小多项式计算低阶方阵的高次幂，以及简化方阵多项式的技巧。

关键词：方阵的幂;Hamilton-Cayley定理;特征多项式;最小多项式

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2015）25-0197-02

在线性代数、矩阵理论相关课程中，一类比较常见的问题是，计算方阵的幂。方阵的幂，是矩阵理论中非常简单的概念。若A是n阶方阵，则A的m次幂定义为

A  =  ，其中m表示任一正整数。

若方阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使得

其中Λ=diag（λ  ，λ  ，…，λ  ），λ  ，λ  ，…，λ  是A的特征值，则A的幂是容易计算的，因为

而且Λ  =diagλ    ，λ    ，…，λ    ，所以在这种情况下，我们可以写出方阵A的任意次幂的显示表达式。若方阵A不可对角化，尤其是当m比较大的时候，计算A的幂就成为一个复杂的问题。

本文介绍低阶方阵高次幂的计算技巧，希望对读者有所帮助。我们所介绍技巧的理论基础是著名的Hamilton-Cayley定理及矩阵的最小多项式。为方便读者阅读，首先回顾相关定理、定义与重要性质。

Hamilton-Cayley定理：n阶方阵A的特征多项式f（λ）=det（λI-A），则f（A）=0。

若多项式p（λ）使得p（A）=0，则称p（λ）为A的化零多项式。Hamilton-Cayley定理告诉我们，方阵A的特征多项式总是其化零多项式，因此任意方阵A的化零多项式总存在。方阵A的次数最小且首项系数为1的化零多项式称为A的最小多项式。基于此定义不难证明，A的最小多项式能整除其所有化零多项式。因此，A的最小多项式是其所有化零多项式的最大公因式，故最小多项式必存在且唯一。利用下面的结论，可以确定给定方阵A的最小多项式。

定理：已知方阵A，若B（λ）是矩阵（λI-A）的伴随矩阵，d（λ）是B（λ）各元素的最大公因式，则方阵A的最小多项式ψ（λ）是ψ（λ）=  。

例如：3阶方阵

的特征多项式是

（λI-  ）的伴随矩阵

该方阵的所有元素的最大公因式d（λ）=λ+1，因此方阵  的最小多项式为

ψ（λ）=（λ+1）  。

问题：对上例中的3阶方阵  ，试求  5。

我们应该注意到，方阵  有一个特征值-1，其代数重复度为3，而几何重复度为2，所以  最多有两个线性无关的特征向量，  不可对角化。因此，我们不能借助对角矩阵计算5（如本文第一段所述）。

根据Hamilton-Cayley定理，方阵  的特征多项式f（λ）是其化零多项式，即：

上式可改写为：

反复利用该式，我们可将方阵A的任意次幂转化为方阵A的二次多项式，例如：

我们还可以借助方阵的最小多项式简化方阵幂的计算，仍以3阶方阵  为例。根据上文，  的最小多项式是ψ（λ）=（λ+1）  ，于是

或等价的写成

反复上式，我们有

基于上式，容易得到

显而易见，借助最小多项式，我们将  的幂转变为  的一次多项式，这大大降低了计算的复杂度。

不论是特征多项式，还是最小多项式，它们在计算方阵的幂的过程中发挥着类似的作用，即：以化零多项式提供一个等式，帮助我们将方阵的幂转化为次数较低的多项式，以达到简化计算的目的。作为次数最小的化零多项式，最小多项式能最大程度简化方阵幂的计算。这种方法在计算低阶方阵的高次幂时，效果尤其突出。

最后，需要指出的是，最小多项式（或特征多项式）也可用于简化方阵的高次多项式的计算。例如：计算  的5次多项式

事实上，利用多项式带余除法，不难得到

于是，我们有

请注意，（λ+1）  是  的最小多项式，（  +I）2=0，因此我们得到

参考文献：

[1]同济大学数学系.工程数学线性代数（第五版）[N].北京：高等教育出版社，2007.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2001.endprint