转化的魅力

●何卫华 陈碧文(鄞州区正始中学浙江宁波315100)

转化的魅力

●何卫华 陈碧文(鄞州区正始中学浙江宁波315100)

引例(文献［1］中例题)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c图像过点(－1，0)，问是否存在常数a，b，c，使不等式对一切x∈R都成立?

文献［1］中指出解题教学不能只展示好的解法，也要介绍自己备课时一些失败的思维痕迹，更要展示学生的想法，追求解法的自然.文献［1］中也认为例题解法中令x=1不易想到，笔者针对这一问题谈些自己的看法.

图1

上述问题通过转化思想，从代数角度得到f(1)=1很自然，从几何角度得到巧解.可见转化思想无处不在.接下来通过几个例子让我们一起来看看转化在解题中的应用.

1 基于对数学本质理解的转化

例1已知t为常数，函数y=|x2－2x－t|在区间［0，3］上的最大值为2，则t=______.

(2008年浙江省数学高考理科试题)

解令f(x)=x2－2x，x∈［0，3］，其值域是［－1，3］.问题转化为在数轴上寻找一个数t，使得它与［－1，3］中的任意一个数的距离不超过2.易得t=1.

这样的处理将原本的含绝对值函数的最值问题转化为绝对值的几何意义，体现了降维思想，避免了分类讨论.

2 基于对数学方法深刻理解的转化

例2求数列{n2·2n}的前n项和.

这里Tn求和就是我们熟悉的“等差乘等比型”数列求和(解略).

“错位相减法”的本质是化归.例2利用“错位”和“相减”产生有规律(通常为等比或常数数列)的n－1项.有人认为“错位相减法”除了推导等比数列前n项和公式以及用它来求解“等差乘等比型”数列前n项和外别无它用.例2虽不是“等差乘等比型”，但这里用“错位相减法”却将其化归为“等差乘等比型”，这样的处理是理解了“错位相减法”的本质的.

著名的数学家，莫斯科大学教授雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表“什么叫解题”的演讲中提出:“解题就是把要解的题转化为已经解过的题”.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.

3 基于对一类命题方法探究的转化

例3抛物线C的顶点是(0，0)，焦点为F(0，1).

1)求抛物线C的方程;

2)过点F的直线交抛物线C于点A，B，若直线AO，BO分别交l:y=x－2于点M，N，求|MN|的最小值.

(2013年浙江省数学高考文科试题)

我们先来看一个引例:抛物线x2=2py(其中p＞0)，坐标原点记为O，过焦点的直线与抛物线交于点A，B，求证:

简证设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知

设点C(x1，2y1)，D(x2，2y2)，则OC⊥OD，即△OCD是直角三角形.构造压缩变换:则在坐标系O'x'y'中，直线y=x－2变换成2x'－y'－4=0.取线段CD的中点E，欲使线段长|CD|取得最小值，只需中线长|OE|取得最小值，此时只需OE⊥CD即可，即

这样的处理将一个较为复杂的问题转化为直角三角形的中线最短问题，亦即点到直线距离垂线段最短这么一个简单的事实.简单美是数学美的一种，该题解答的探求实质上是对数学美的追求.

4 基于对数学试题运算简化的转化

例4已知集合A={y|y=－2x，x∈［2，3］}，B={x|x2+3x－a2－3a＞0}，

1)当a=4时，求A∩B;

2)若A⊆B，求实数a的取值范围.

分析1)略.

2)一般解法是

接下去就是利用a和－a－3的大小和子集关系分类讨论列出不等式组求解，可得－4＜a＜1.

事实上，第2)小题可以转化成对任意x∈A(其中A=［－8，－4］)，x2+3x－a2－3a＞0恒成立.进一步转化成f(x)=x2+3x－a2－3a在x∈［－8，－4］的最小值f(x)min＞0，易得－4＜a＜1.

这样的处理体现了不等式、函数、方程之间的转化，避免了讨论，简化了运算.

结束语转化思想无处不见，我们要不断培养和训练学生自觉的转化意识，这样将有利于强化解决数学问题的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.每当我们思考一个问题时，要考虑该问题是否可以继续转化，转化成熟悉的、简单的或已经解决的问题.华罗庚先生也曾讲过，复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.这里讲的“退”，实际上就是转化思想.

课堂是教师培养学生的主要阵地.学生在课堂上要有所得，主要的途径不是告知，而是学生通过自己的主动参与，自主探索，从而达到对知识的掌握，思想方法的领悟.在数学的天地里，重要的不是知道什么，而是我们是怎么知道的，而这个怎么知道的过程正是课堂中最重要的东西——生成.也就是说，转化能力的培养一定要有学生的主体参与.

转化思想的形成是一个较漫长的、螺旋上升的过程.这就需要教师在上课时将转化的意识贯穿于高中整个教学过程，站在系统的高度，引导学生用联系的观点看问题.转化思想也是一个人学习、工作所必须的一种能力，这就需要教师将转化能力的培养渗透到平时教学的点点滴滴之中.用各种不同的知识作为载体培养学生转化的能力，通过量的积累促使学生达到质的变化，真正体现数学培养人的意义和价值.

［1］王峰.解题教学应是“想法”展示的教学［J］.中学数学研究，2014(1):封二.

［2］何卫华.还数学以本质的教学——以等比数列前n项和为例［J］.中学数学月刊，2014(6):42-45.

［3］何卫华，陈碧文.定义解题新说［J］.上海中学数学，2014(5):17-20.