基于问题解决的数学思考──以一道课本例题为例

●李玉荣(金陵中学河西分校江苏南京210019)

基于问题解决的数学思考──以一道课本例题为例

●李玉荣(金陵中学河西分校江苏南京210019)

1 问题提出

题目点A，B分别是2条平行线上任意2个点，在直线上找一点C，使BC=AB，联结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F.

1)如图1，当k=1时，探究线段EF与EB的关系，并加以证明.

说明①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少3步);②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图2中补全图形，完成证明(选择添加条件比原题少得3分).

2)如图3，若∠ABC=90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由.

(2008年辽宁省大连市数学中考试题)

图1

图2

图3

笔者近期在讲授完“全等三角形”后，将第1)小题选作单元检测的压轴题，结果2个班88名学生无人能解，其他班级的情况也大致相仿，这不禁引发了笔者的思考，此题很难吗?难在哪里?

2 原解呈现

文献［1］给出的证法如下:

如图1，以E为圆心、EA为半径画弧交直线m于点M.联结EM，则

从这个证法看，本题的难点是:1)条件“∠BEF=∠ABC”的有效使用;2)构造一个三角形使EF与BE分别在2个全等三角形中，辅助线的添加无疑起到了决定性的作用.除了文献［1］中提供的辅助线“以E为圆心、EA为半径画弧交直线m于点M”(着实不易想到)，能另辟蹊径破解此题吗?

3 例题引路

例1如图4，已知△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，求证:点P在∠ACB的角平分线上.

(苏科版八年级数学(下册)第55页例2)

证明过点P作PF⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为F，M，N.因为AD平分∠BAC，点P在AD上，所以

故点F在∠ACB的角平分线上.

图4

图5

例2如图5，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证:点F在∠DAE的角平分线上.

(北师大版九年级数学(上册)第37页第2题)

证明过点F分别作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为P，M，N.因为点F在∠CBD的角平分线BF上，所以

因而点F在∠DAE的角平分线上.

数学思考和问题解决是《义务教育数学课程标准(2011年版)》中提出的2个课程目标，自然应当成为数学教学的重心.而课本里的部分例题和习题，承载了编者对课程标准的把握，凝聚了编者的心血和理念，在解题思路和方法上具有典型性和代表性，在由知识转化为能力的过程中具有示范性和启发性，在编制考题时具有迁移性和再生性.这些例题的问题解决与数学思考，有助于抓问题本质，悟解题规律，练思维能力，进而在中考时触类旁通、得心应手.这2道题都是安排在学完定理“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”、“角的内部到角的两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上”之后，需要证明的问题都是“某点在某角平分线上”，解决问题的关键是辅助线.由于知识点刚刚讲授，学生不难想到上面的证法，表面看来学生掌握得良好.但是，如果将问题改为证明2个角相等，学生还能自如地求解吗?在其他背景下碰到类似问题，学生还能想到这3条辅助线，通过“角相等→线段相等→角相等”解决问题吗?这正是问题解决后不容“滑过”的数学思考.

4 解法更新

证明如图6，过点E分别作EM⊥FG于点M，EN⊥AB于点N，因为m∥n，所以

评注此证法关注了AC平分∠GAB，联想到例题的思路，辅助线的添加显得自然、合理，难点得以突破，问题也就迎刃而解了.

图6

5 迁移应用

例3如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=______.

(2011年湖北省黄冈市数学中考试题)

分析由于题目的条件都和角有关，学生常常会直接考虑利用角的关系来求角，但思维很快受阻，无法求解.

作PF⊥BD，PE⊥BA，PG⊥AC，F，E，G是垂足，由已知得

因此PA是∠EAC的角平分线，故∠CAP=50°.

图7

图8

评注此题是例题变式的特殊情况，由题设的角平分线联想到辅助线方能奏效.

变式1设△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，若∠BPC=140°，则∠CAP =______.

变式2设△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ______.

例4如图8，点C为线段AB上任意一点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD=∠BCE，联结AE交CD于点M，联结BD交CE于点N，AE与BD交于点P，联结CP.

1)求证:△ACE≌△DCB;

2)请你判断△ACM与△DPM的形状有何关系并说明理由;

3)求证:∠APC=∠BPC.

(2011年山东省济南市数学中考试题)

证明1)，2)略.

3)过点C作CG⊥AE于点G，作CH⊥BD于点H，由△ACE≌△BCD得CG=CH，故点C在∠APB的角平分线上，即∠APC=∠BPC.

评注这是一道中考压轴题，命题者设置了2个小题作为铺垫，但要借此完成第3)小题并非易事(详见参考答案)，而将问题看成证明点C在∠APB的角平分线上，只需作出相关的辅助线，问题的解决轻松自然.

变式题如图9所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，联结OC，FG，则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC，其中正确结论的个数有()

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

(2010年黑龙江省绥化市数学中考试题)

图9

图10

例5如图10，设AD，BE，CF是△ABC的角平分线，且∠BAC=120°，联结DE，DF，求证:DE⊥DF.

(2009年“希望杯”初中数学竞赛试题)

证明作EG⊥BC，EH⊥AD，EM⊥BA，垂足分别为G，H，M.因为∠BAC=120°且AD是△ABC的角平分线，所以

又BE是△ABC的角平分线，得

于是DE平分∠ADC.同理可得DF平分∠ADB，即

进而DE⊥DF.

评注此题看似简单，入手求解顿感不易，文献［2］和文献［3］中给出了多种解法均复杂冗长，且需要用到初中生没学到的几何知识，而联想到角平分线的相关辅助线解题十分简捷.

变式题在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕点P旋转.

1)如图11，当三角板的2条边分别交AB，AC于点E，F时，求证:△BPE∽△CFP.

2)操作:将三角板绕点P旋转到图12所示的情形时，三角板的2条边分别交BA的延长线及边AC于点E，F.

①探究1:△BPE与△CFP还相似吗(只需写出结论)?

②探究2:联结EF，△BPE与△PFE是否相似?请说明理由;

③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S.

(2005年江苏省扬州市数学中考试题)

图11

图12

例4如图13，已知AD是△ABC的中线，∠ABC=30°，∠ADC=45°，则∠ACB =______.

(2011年北京市初二数学竞赛试题)

解过点D作FD⊥BC交AB于点E，联结CE，则

即AE平分∠FEC.又∠EDA=∠ADC=45°，从而AD平分∠FDC，分别作AH⊥CE于点H，AM⊥DF于点M，AN⊥DG于点N，则

于是AC平分∠ECG，即

图13

图14

评注此题看似常规，实际很难入手，文献［4］提供的解法十分繁琐，恰当的辅助线构造出角平分线及其相关的辅助线使问题迎刃而解.

变式题如图14，在▱ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，且AE=CF，AE与CF交于点P.求证:BP平分∠APC.

6 写在最后

数学新授课通常都会配置与当堂知识密切相关的例题，这些例题的解决，大多数学生并不存在困难，甚至通过自主学习就能弄懂，但后期结果常常是一看就会、一听就懂、一过即忘，究其原因是学生没有透彻地理解解决问题的方法，更缺少对问题解决的数学思考.为什么要这样做?怎么想到这样做的?你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗?还有没有更好的方法解决问题?“数学思考”是问题解决的前提，解决问题离不开数学思考，数学思考同时又是问题解决的持续，“数学思考→问题解决→数学思考”应是一个完整的链条.但在日常教学中，问题解决后的数学思考却常常被忽视，使得学生的解题能力大多停滞在模仿阶段，缺少质的飞跃，更谈不上创新思维，教学的有效性大打折扣.数学思考是指运用“数学方式的理性思维”进行的思考，它培养学生以数学的眼光看世界，从数学角度去分析问题的素养，会使学生终身受益.无论他们将来从事什么职业，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式，让学生学会思考，特别是独立思考，是数学课程培养学生创新能力的核心;“问题解决”与“解决问题”并不完全相同，它不但是一种教学方式，是展开课堂内容的一种有效形式，也是学生应该掌握的学习形式和应该具备的能力.课程目标，它包括从数学角度发现、提出、分析和解决问题4个方面.实现“问题解决”的课程目标，能够让学生学会数学思考，还能够让学生积累思维经验，并且能够成为培养学生应用意识和实践能力的重要方面.在“数学思考→问题解决→数学思考”中，教师精心用好教材例题至关重要，根据学生的不同特点，采用多元化的形式，精心设计例题的教学，打造生本课堂、高效课堂，学生将能够积累数学活动经验，感悟数学思想，提高发现、提出、分析和解决问题的能力.

［1］李朝东.中考名题精讲精练(数学)［M］.北京:中国少年儿童出版社，2008.

［2］刘运宜.再谈平面几何代数化背景探源［J］.中学数学杂志:初中版，2009(6):44-46.

［3］姜官扬，刘小辉.两道几何题的另证［J］.中学数学:初中版，2011(2):60-61.

［4］姜照华.一道平几赛题的另解与推广［J］.数理天地:初中版，2012(6):29-31.