分层视角下《函数》章节的有意义教学*

◎福建师范大学附属中学　张春晓　黄晓滨

分层视角下《函数》章节的有意义教学*

◎福建师范大学附属中学张春晓黄晓滨

伴随着选课走班模式的推进，本文探讨如何根据学生的实际认知水平，在有意义学习理论的指导下，展开分层次的教学备课，从而实现高中《函数》章节内容的有意义教学.这对高中一线教师具有现实的指导意义，同时对实现学生的可持续发展也具有重要意义.

有意义学习；分层次教学；函数周期性

随着高中新课程改革的不断深入，新课改的学生在思维的严谨性、推理的逻辑性方面尚有不足.受制于高考要求，高中数学在内容、难度方面与初中相比都有较大不同，高中的“函数”定义及其有关性质十分抽象，让刚进入高中学习的学生难以适应.为此，笔者从所在学校高一年段约700人中做了一项调查问卷，结果显示：79%的同学在运用基本初等函数的性质时会发生困难，60%的同学认为高中函数模块难理解，63%的同学认为部分解题方法在初高中数学中存在明显断层.

刚进入高中学习的学生，在知识背景、思维方式方面存在明显差异，为了实现高中函数的有意义教与学，使得高中学生能较快适应高中的数学学习习惯与思维方式，笔者认为，在高中函数性质的教学中可采用分层次教学.通过实施分层次的教学，为学生的自主学习、个性发展创造了条件，也为学生的可持续发展奠定了基础，从而实现“人人都能在数学上得到不同的发展”.

一、有意义学习理论

奥苏贝尔的认知同化学习理论指出，有意义学习是新旧知识的联系与同化.其产生的条件，在客观上，学习材料本身要有逻辑意义；在主观上，学习者本人应具备有意义学习的心向，同时其认知结构中应具有同化新知识的原有观念，这样新旧知识才能建立起非人为性和实质性的联系.奥苏贝尔的观点告诉我们，教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么.教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系.这就要求教师必须全面、深入地了解学生，使教学方法、教学内容与学生的认知结构相适应，才能保证学生学到最基本的知识，又能理解知识的内在逻辑性.

二、分层次教学中的有意义学习

这里的分层次指的是在原班不变的情况下，实施数学教学的动态组合班制，即把同一个班级的同学按照数学水平的不同在数学课堂上实行走班制，与同一年段水平相差不大的学生共同学习.针对不同层次的班级，不同层次的学生，授课教师从不同的起点、不同的角度开展教学，通过调整教学方式与教学内容，促进各个层次的学生共同发展.这种分层次将认知结构、能力水平相当的学生分在同组，为学生个性发展提供了平台.本文仅讨论在此种分层下，如何进行高中函数的有意义教与学.

以函数周期性为例，教材（人教版A）仅在必修4中讨论过三角函数的周期性，而对非三角函数的周期性未加以提及，但一些非三角函数如果既具有对称性又具有奇（偶）性，也可使得这类函数具有周期性.纵观历年的各类高考试题，关于非三角函数的周期性屡见不鲜.周期性作为函数的重要基本性质，与函数的单调性、奇偶性具有“非人为性和实质性”的联系.另一方面，对层次较高的学生，像一类校中被提前录取的实验班学生，均是经过层层考核被选拔上来的，已具有较强的逻辑推理能力和较好的学习习惯，同时也具备一定的抽象思维能力，其认知中已具有接受函数周期性的“固定点”.对他们而言，教师在函数的单调奇偶性之后渗透周期性教学，符合该类学生的认知发展水平，同时也符合有意义学习产生的条件.对于这一层次学生，在探究完函数的奇偶性后，可考虑让其进入函数周期性的学习.从有意义学习理论来看，函数的周期性与奇偶性属于并列结合关系，这样安排教学，可将前后出现的学习内容统一为一个完整的知识体系，并将之固定在学生的认知结构中.由于这一层次的学生还没有学过三角函数，可直接通过股票涨跌、简谐振动、自然现象等形象的生活实例，引申出周期性概念，给出函数周期性定义.同时通过一些辅助性的解释说明，帮助学生了解周期的不唯一性及变量取值范围的无限性.为引导学生在比较中实现新旧知识的同化.可让其对例1进行探究.

例1.（2009年全国卷）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则

A.f（x）是偶函数B.f（x）是奇函数

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数

该例以函数奇偶性作为背景，实则考察周期性与对称性的联系，通过学生自主研究，在解决问题的过程中建构起周期性与对称性间的联系.这样安排，恰可使学生从貌似无关的概念中发现它们共同的关键特征，不仅可以巩固已有“固定点”的强度，加深对函数奇偶性的认识，又可对所学知识进行纵向延伸，实现函数周期性的有意义学习.

在本题后可对该题结论进行延伸，提出一般抽象函数周期性与对称性间的联系：若函数y=f（x）的图像有一个对称中心A（a，0）和一条对称轴x=b，则f（x）是周期函数，且其周期是T=4|b-a|；若函数y=f（x）的图像有两个对称中心为A（a，0）和B（b，0），则f（x）仍然为周期函数，其f（x）周期为T=2|b-a|；若函数y=f（x）的图像关于直线x=a及x=b对称，则的周期为T=2|b-a|.这里采用猜测归纳及类比同化模式，从具体问题导出一般性结论，符合学生认知规律，让其进一步体会周期性与对称性的联系.在后续练习中，为巩固并强化对这种联系的认识，可设置如下练习.

练习1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）.当x∈［0，2］时，f（x）=2x-x2.（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈［0，2］时，求f（x）的解析式；

（3）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值.

练习2.设函数f（x）在（-∞，+∞）上满足f（2-x）= f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在闭区间［0，7］上，只有f（1）= f（3）=0.（1）证明：函数f（x）为周期函数；

（2）试求方程f（x）=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.

以上两个练习均以抽象函数作为载体，通过函数的对称性导出函数的周期性，通过这种练习，可进一步帮助学生巩固认知中对性质间内在联系的认识，实现思维水平上的升华.

对于分层中水平中游的学生，由于他们刚进入高中，其思维状态尚处于从形象到抽象的过渡阶段，对抽象函数的对称性及奇（偶）性理解不够透彻，认知中尚不完全具备有意义学习周期性的心向，对于此层次学生，可等到他们学到三角函数时，将其与周期性相结合，通过正（余）弦函数出现周而复始的变化规律，引入函数周期性.这里以三角函数为载体，让学生通过具体函数，建立起对称性与周期性间的联系，实现函数基本性质的整合协调.这种设计基于学生认知中起固定点作用的概念（即三角函数的定义与图像）较稳定、清晰，且经过高中一段时间的学习，学生已具备了一定的观察发现与抽象概括能力.另一方面，此层次学生在学习三角函数前，已完整学习过基本初等函数及性质，并能利用数学符号进行一些稍繁杂的数学推理.在此基础上，为实现其对周期性认识的纵向延伸，实现有意义学习，在教学设计时，可考虑以三角函数为载体，对有关类似的三角型函数周期性进行研究.考虑如下例.

例2（.2014年福建省质检）在平面直角坐标系xOy中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向a，对于任意点P∈Ω，都有点Q∈Ω，使，则称→a为平面点集Ω的一个向量周期.现有以下四个命题：

1.若平面点集Ω存在向量周期→a，则k→a（k∈Z，k≠0）也是的向量周期；

2.若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；

3.若平面点集Ω=｛（x，y）|x＞0，y＞0｝，则b→=（-1，2）为Ω的一个向量周期；

4.若平面点集Ω=｛（x，y）|sinx|-|cosx|｝，则为Ω的一个向量周期.

其中真命题的个数是

A.1B.2C.3D.4

该例以三角函数做载体，以向量为背景，考察学生对平面向量周期的理解.它要求学生必须充分了解函数周期性的特点，熟练运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力.这对学生巩固其认知中的向量、三角函数知识，对提高函数周期性的认识，实现其有意义学习是具有积极作用的.

对于分层中基础相对薄弱的学生，在周期性教学中，考虑到其思维特点，宜采用直观教学，侧重夯实基础，进行低起点、小步子的教学，注重培养学生数形结合的思想方法.侧重从三角函数的图像中，得到函数周期性的相关公式及结论，借助图形帮助学生理解周期性特点.考察以下两例.

例3.下列函数是否是周期函数，若是，求出其周期；若不是，说明理由.

（1）y=|sinx|；（2）y=sin|x|；

（3）y=|sin|x||.

以上两例的共同点在于均可通过函数图像分析其周期性，其中例3将周期性与函数图像变换结合，例4将周期性与向量知识结合.这两例均是以三角函数作为背景，在学生已有的认知范围内，拓广其认知结构，同时巩固已学过知识，实现有意义学习.当然，在接下来练习中，可考虑将三角恒等变换、三角函数的图像与周期性相结合，考察学生对周期性公式及相关结论的掌握.

三、有意义学习理论对高中数学学习的启示

1.形成良好的学习习惯、重视新旧知识的联系与区别

有意义学习理论指出，有意义学习是新旧知识的联系与同化，这就要求学生认知结构中必须具有能与新教材建立联系的有关概念，而初高中教材还存在着知识脱节的现象，在初中数学教材中没有重点讲解的知识有很多却在高中学习过程中经常用到.例如“因式分解、根式有理化、韦达定理、二次函数……”因此，在学习高中函数知识前，应有意识地对初中基本函数知识点进行回顾、复习，同时做好对新教材的预习，并能对某些问题提出质疑，建立知识网络，为学习和记忆新知识提供必要的“固定点”.

2.增强学习兴趣

有意义学习理论认为，在主观上，学习者本人应具备有意义学习的心向，即内部学习动机，这是有意义学习产生的学习条件之一.因此在学习中可以多阅读一些数学课外书籍，运用数学知识解决这些问题，在解决的过程中享受数学，树立信心；多了解一些数学家的成长故事，在了解的过程中增强学习毅力，在归纳和探索中认识数学的魅力，激发对数学学习的兴趣.

3.培养自我反思、自我总结的良好习惯

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”相比初中，高中的函数知识内容加深了，研究范围扩大了.在学习中培养反思习惯，可以了解初高中函数的区别，掌握它们之间的纵横向联系；在解题中学会反思，可以了解出题者意图，总结规律，使分析问题、解决问题的能力不断提高.所以在学习中，要注重对知识的消化与反思，对典型解题方法的归纳与整理.

四、反思

上文从奥苏贝尔的认知结构同化学习理论出发，对目前高中函数有意义学习提出了若干教学建议，强调了有意义学习需建立在学生已有认知结构，并从理论和实践上论证了分层次教学的重要性，对以后选课走班模式的授课有现实的意义.同时，对高一学生在进入高中的学习提供了学法上的指导.但高中函数教与学并不是任何单一教学理论能够解决的，它要求一线教师在教学实践中，不断提高自身的理论水平和业务水平，从学生实际出发，更多地考虑学生的“最近发展区”，通过把握个体的差异性进行分层次教学，多给学生创造成功的机会，激发学生的学习热情.同时要求学生注重初高中数学学习方法上的调整，培养良好的学习习惯.只有这样，才能真正实现有意义的教与学，不同的学生才能在数学上得到不同的发展.

（责任编辑：王钦敏）

*本文系福州市教育科学研究2014年课题“基于高中函数教学的适应性与有意义学习的研究”（项目编号：FZ2014GH001）研究成果之一。