对条件概率、独立性、数学期望教学的思考

姜云波

【摘 要】条件概率和独立性这是概率论中的两个重要概念，也是两个有着联系的概念；数学期望是一个很重要的数字特征，是概率论内容的一个重要部分。本文主要分析了关于条件概率和独立性教学的一些思考及对数学期望教学中涉及随机变量的绝对值的数学期望这一问题的思考。

【关键词】条件概率 独立性 数学期望 教学

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）05-0064-02

条件概率和独立性是概率论中的两个基础概念，也是比较抽象的两个概念，笔者认为，从例子出发，能帮助学生理解这两个概念。数学期望是随机变量的一个数字特征，也是方差定义的基础，数学期望的计算方式方法也较多。一般情况下，涉及随机变量的绝对值的数学期望的计算不容易，特别是在连续型随机变量的情况下，要涉及将绝对值符号去掉后的被积函数的表达式、积分范围的确定及广义积分的计算。

在参考文献[1]中有这样一个例题：

例1：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况。设事件A为“至少有一次为H”，事件B为“两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。

对于上述例1，参考文献[1]中给出了结果：P（B|A）=

，还给出了P（B）= ≠P（B|A）。

上述例1从独立性的角度看，意味着事件A与事件B不是相互独立的。从直观的理解看，也能看出事件A与事件B不是相互独立的，事件A的发生对于事件B的发生是有影响的。

将上述例1中的事件A变为“第一次掷出正面”，这时

可以计算得出P（B|A）= =P（B），从直观的理解看，也

能看出事件A与事件B是相互独立的，事件A的发生对于事件B的发生是没有影响的。

将上述例子进一步修改为下例：

例2：将一枚硬币和骰子同时抛掷，共抛掷两次，观察硬币出现正反面和骰子出现点数的情况。设事件A为“至少有一次硬币为正面，同时骰子出现点数为3”，事件B为“硬币两次掷出同一面”。（1）求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。（2）事件A变为“第一次硬币掷出正面，同时骰子出现点数为3”，再求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。

（1）求解过程：为求此试验的样本空间，首先根据硬币出现正反面的情况分成四类：正正、正反、反正、反反。在每一类中根据骰子的点数可以表示成集合的形式：{（i，j）|i∈N+，j∈N+，1≤i≤6，1≤j≤6}，有36个元素，故此试验的样本空间共有4×36=144个样本点。在事件A已经发生的条件下，此时可能的结果在正正、正反、反正这三类中出现。在正正这一类中，出现了11次；在正反这一类中，出现了6次；在反正这一类中，出现了6次。则事件A中共有23个元素，在事件A已经发生的条件下，只有正正这一类中出现的11个元素属于B，故P（B|A）= ，而

从直观的理解看，（1）中容易看出事件“至少有一次硬币为正面，同时骰子出现点数为3”对于事件“硬币两次掷出同一面”的发生是有影响的，所以最后的结果中P（B）≠P（B|A）；而（2）中容易看出“第一次硬币掷出正面，同时骰子出现点数为3”对于第二次硬币的正反是没有影响的，故对事件“硬币两次掷出同一面”的发生是没有影响的，故最后的结果中P（B|A）=P（B）。

在参考文献[1]中条件概率这一节中还有后验概率这个与条件概率有关的概念。参考文献[1]中第19页的例7的问题已给出结果，若将此例的问改为求已知某日早上第一件产品是不合格品时，机器调整的良好的概率，则所求概率

为 ，容易求得结果约为0.46。

从直观的理解看，对于要考察的对象，如果延续好的状态，那么一般将提高评价，如果出现坏的状态，那么一般将降低评价，但若没有经过大量数据的检验，仅凭一次的考察就得出评价一般会有一定的波动性。从上述的结果看，若某日早上第一件产品是合格品时，后验概率提高，若某日早上第一件产品是不合格品时，后验概率降低，但这只是凭某日早上第一件产品是否合格得出的结论，从此例的结果看，后验概率从0.97到0.46，变动幅度较大。

有这样的题目：设随机变量X～N（μ，σ2），Y～N（μ，1），且X和Y是相互独立的，求E（|X-Y|）。

关于其计算的过程和结果已有结论，简述如下：由于X-Y～N（0，σ2+1），在计算E（|X-Y|）时，可通过参考文献[1]中有关一个随机变量的函数的数学期望的相关结

论来计算，其结果为E（|X-Y|）= 。

对于E（|X-Y|）的计算，涉及两个随机变量的函数。作者在教学中，有学生问：能否通过两个随机变量的函数的数学期望的相关结论来计算，以对上述计算结果提供印证呢？作者在思考后，进行了计算，得到了如后的过程。

令f（x，y）= ，参考文献[1]中有关两个

随机变量的函数的数学期望的相关结论，则有：

令u=x-y，交换积分次序，则有：

将 代入，再配方，进一步计算可得：

可以看出，计算结果与之前的计算结果相同。

通过上面相关的实际例子及对于上述相关内容的讲解，有利于学生们加深对于条件概率和独立性這两个概念及它们之间关系的理解，提高学生们对于后验概率、条件概率的理解及学习兴趣。涉及随机变量的绝对值的数学期望时，其计算往往比较难，但方法也并不一定就是唯一的，通过多种方法进行计算，可以熟悉相关知识，进一步体会数学的严密性。以上内容希望能对相关内容的教学有所帮助。

参考文献

[1]盛骤、谢式千、潘承毅编.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008

〔责任编辑：林劲〕