直觉模糊集间相似度量及其在方案优选中的应用

全雪峰

摘 要： 针对现有直觉模糊集（数）间相似度量方法大都未考虑犹豫度，其计算方法只适用于一些特定场合的问题，基于直觉模糊集的定义，提出了一种新的相似度量方法。新的相似度计算公式由隶属度、非隶属度、犹豫度和扩展记分函数组成，具有一些新的性质。将新的直觉模糊集（数）间相似度量方法应用于医疗方案优选，通过实例给出如何將原始数据转化为直觉模糊数据，之后用直觉模糊集间相似度量来解决该问题。实例表明，所提方法实用、有效。

关键词： 直觉模糊集； 直觉模糊数； 相似度量； 方案优选

中图分类号：TP391 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2015）09-51-03

Similarity measure between intuitionistic fuzzy sets and its application to scheme optimum seeking

Quan Xuefeng

（Department of Health Management， Nanyang Medical College， Nanyang， Henan 473061， China）

Abstract： Most existing similarity measures between intuitionistic fuzzy sets （values） do not take the hesitation degree into account， and the calculation method is only suitable for some certain situations. Based on the definition of intuitionistic fuzzy sets， a new similarity measure method is proposed. The new similarity formula is composed of membership degree， non membership degree， hesitation degree and expansion score function， and has some new properties. In this paper， the new similarity measure method between intuitionistic fuzzy sets （values） is applied to the medical scheme optimization. Through the examples， shows how to translate the raw data into intuitionistic fuzzy data， and to solve the problem with the new similarity measure method. Examples show that the proposed method is practical and effective.

Key words： intutionistic fuzzy sets； intutionistic fuzzy values； similarity measures； scheme optimization

0 引言

直觉模糊集概念自Atanassov[1]提出以来，已得到众多学者的广泛研究[2-3]，并被应用到一些实际工程中[4-5]。直觉模糊相似度量是直觉模糊集理论研究中一个重要的问题。Chen[6-7]最先讨论了Vague集（值）的相似度量；随后Hong[8]、李凡[9]等人指出Chen的相似度量方法在某些情况下不适用，并提出改进方法；Li Dengfeng[10]等人给出直觉模糊集间相似度的一个公理化定义；鉴于Li Dengfeng的定义存在与经验规律相违之处，Mitchell[11]和Li[12]等人分别对该定义进行修正；Szmidt[13-14]等人给出考虑犹豫度后的相似度计算方法。近几年，一些学者继续从不同角度对直觉模糊相似度量问题进行研究[15-17]。

尽管目前已提出多种直觉模糊相似度量方法，但由于各种方法考虑的侧重点不同，导致这些方法有各自的优点和局限性。本文给出一种改进的直觉模糊相似度量方法，并将改进后的相似度量方法应用于医疗方案优选中，用实例验证了改进的相似度量方法是合理的、有效的。

1 预备知识

1.1 直觉模糊集

Atanassov给出的直觉模糊集定义如下：

定义1[1] 设X是一个给定论域，称

⑴

为X上的一个直觉模糊集。其中μA（x）：X→[0，1]，νA（x）：X→[0，1]，且满足条件：0?μA（x）+νA（x）?1，x∈X。μA（x）表示元素x对集合A的隶属程度，νA（x）表示元素x对集合A的非隶属程度。称[μA（x），νA（x）]为x在A中的直觉模糊数，记作A（x）。

⑵

称πA（x）为元素x是否在集合A中的犹豫度。显然，对?x∈X，有0?πA（x）?1。

⑶

称SA（x）为A中元素x的记分函数。SA（x）表示现有证据对元素x属于和不属于集合A的对比。显然，对?x∈X，有-1?SA（x）?1。当SA（x）=0时，说明x属于与不属于A的程度相当；当SA（x）>0时，说明x倾向属于A；当SA（x）<0时，说明x倾向不属于A。

对于两个直觉模糊集A和B，有如下运算：

定义2[1] A?B，当且仅当对?x∈X，μA（x）?μB（x），且μA（x）?μB（x）。

定义3[1] A=B，当且仅当μA=μB，且νA=νB。

1.2 直觉模糊相似度量

下面是雷英杰等人给出的直觉模糊相似度量公理化定义。

定义4[18] 设x=|μx，νx|，y=|μy，νy|是直觉模糊集A上的两个直觉模糊数，μx∈[0，1]，νx∈[0，1]，μy∈[0，1]，νy∈[0，1]，且μx+νx?1，μy+νy?1，定义映射M：A×A→[0，1]，即（x，y）→M（x，y）。称M（x，y）是直觉模糊数x和y间的相似度，如果M（x，y）满足以下四个条件：

（p1） 若?x，y∈A，0?M（x，y）?1；

（p2） 若M（x，y）=M（y，x）；

（p3） 若?x，y∈A，M（x，y）=0，当且仅当x=[1，0]，y=[0，1]或x=[0，1]，y=[1，0]；

（p4） 用dIFS（x，y）=1-M（x，y）表示x和y间的距离，则对?x，y，z∈A，有d（x，z）?d（x，y）+d（y，z）。

1.3 存在的问题

由式⑵可知，犹豫度受隶属度、非隶属度的影响。假设有10人参与投票，若在第一轮投票中有4人支持，3人反对，3人弃权，那么在第二轮投票中，这3名弃权者将倾向于支持。但是，式⑶只用隶属度和非隶属度来表达x属于或不属于A的程度，忽视了犹豫度的作用。此外，定义4未给出相似度M取最大值1的条件，不够完善。下面本文给出改进的直觉模糊集（数）间相似度量方法。

2 改进的直觉模糊集（数）间相似度量方法

定义5 +|πx-πy|，称M（x，y）是直觉模糊数x和y间的相似度量。

其中，δx=μx+πxμx是A中元素x的支持程度；αx=νx+πxνx是A中元素x的反对程度；是A中元素x的扩展记分函数[19-20]。

定理1 M（x，y）具有以下性质：

性质1 M（x，y）∈[0，1]；

性质2 M（x，y）=0?x=[0，1]，y=[1，0]，或x=[1，0]，y=[0，1]；

性質3 M（x，y）=1?x=y，且πx=πy=0；

性质4 M（x，y）=M（y，x）；

性质5 用dIFS（x，y）=1-M（x，y）表示x和y间的距离，则对?x，y，z∈A，有d（x，z）?d（x，y）+d（y，z）。

该定理的具体证明过程请参见文献[16]，此处略。

定义6

，称M（A，B）为直觉模糊集A和B间的相似度量。

定义7

，其中wi为元素xi的权重，wi∈[0，1]，且，称M（A，B）为直觉模糊集A和B间的加权相似度量。

3 基于直觉模糊集间相似度量的医疗方案优选方法

医生在给患者治病中往往会有多个治疗方案，而如何从这些方案中选出最佳方案，下面我们用直觉模糊集间相似度量来研究这一问题。

3.1 优选步骤

第一步 选取指标集。指标集应全面反映待优选对象性质。

第二步 确定指标权重wj 。给不同的指标赋予不同的权重wj ，且。可以采用层次分析法、专家指定法等方法来确定权重值。

第三步 指标值的确定。通过专家打分、实际调研等方式获得各指标值。

第四步 将各指标值转换为直觉模糊数。转换时需要区分定性指标和定量指标[21]。

定量指标：设xij （i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）是第i个待决策方案的第j个指标，记，，并记（，）为指标j的取值范围。显然有：，。

按式⑷将定量指标值转换为直觉模糊数A（x）：

⑷

定性指标：参照表1，对语言评价值进行量化处理。

第六步 计算各待决策方案与理想方案的相似度Mi，并进行排序，最大者为最佳方案。

3.2 应用实例

医生给一位原发性高血压患者制订出以下四种治疗方案：A1—非洛地平缓释片单药治疗；A2—非洛地平缓释片联合氢氯噻嗪片；A3—非洛地平缓释片联合倍他乐克缓释片；A4—非洛地平缓释片联合赖诺普利片。下面根据3.1节步骤从这四个备选方案选出最佳方案。

第一步 选取决策指标。医生根据分析和经验选用费用、达标率、降压速度、副作用组成指标集。为简化计算，这里的费用仅指药费；达标率指使患者用药四周后血压降至正常水平（血压<140/90mmHg）的百分率；副作用指引起头痛、头晕、咳嗽、心悸等不良反应出现。

第二步 确定指标权重。采用专家指定法确定指标权重为：费用=0.05，达标率=0.45，降压速度=0.30，副作用=0.20。

第三步 确定各指标值，见表2。其中药物费用为定量指标，取自开心人网上大药房和药房网2013年10月价格。

第四步 将各指标值转换为直觉模糊数，见表3。其中费用指标的=113.4元，=187元。

第五步 确定理想方案。显然，费用和副作用越低越好，达标率越高越好；对于降压速度，由于抗高血压治疗获益的根本来源在于血压有效下降，根据循证医学，尽早的控制血压并达标可以使患者早期获益，降低心脑血管事件的发生率和死亡率，因此降压速度越快越好。于是理想方案为：D={（C1，1.0，0）， （C2，0.90，0.10），（C3，0.75，0.20），（C4，0.35，0.60）}。

第六步 根据定义7计算各待决策方案与理想方案的加权相似度Mi，结果见表4。

3.3 结论

相似度反映的是备选方案与理想方案接近的程度，相似度值越大，备选方案就越接近理想方案。由表4可知，方案4的相似度最大，因此该方案为最佳方案。同时表4也显示四种联合用药方案与理想方案的相似度基本一致，远大于单药用药方案的相似度，这说明在高血压治疗中联合用药方案比单药用药更好，这一结论与文献[23]的结论一致，进一步说明该方法具有实用性和有效性。