函数教学的几个有效策略

张国强

【摘要】 函数是高中数学的一条基本主线，函数思想始终贯穿于整个高中数学课程之中。由于函数具有抽象程度高，类型多、相关知识的联系性强、思想方法复杂等特点，学生在学习函数时有一定的困难，这就对教师的教学提出了较高的要求。本文提出了函数教学的五个有效策略。

【关键词】 函数 教学 策略

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）01-038-02

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函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。德国数学家克莱因认为：“函数应该是数学教育的灵魂。”函数是高中数学的一条基本主线，始终贯穿于整个高中数学课程之中。函数思想在数列、三角函数、解析几何、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都有突出的体现。由于函数具有抽象程度高，类型多、相关知识的联系性强、思想方法复杂等特点，学生在学习函数时有一定的困难。下面谈谈让学生学好函数的几个有效教学策略。

1. 深挖概念、定理、法则的内涵与外延，加深对数学知识的本质理解

案例1：函数的定义：一般地，我们有：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）。记作： y=f（x），x∈A

在学习这一概念时让学生思考如下问题：

（1）如何理解函数概念中的“任意”及“唯一”？下列四个对应f：A→B.

哪一个表示从集合A到集合B的一个函数？

（2）f（x） 表示什么？含义是不是f乘x？（3）f（x）与f（a）的联系与区别？

（4）映射与函数有哪些联系与区别？

（5）构成函数有哪些关键要素？解析式为y=x2，值域为{1，4}的“不同函数”共有多少个？

评析：本案例通过多角度设计问题，让学生辨析。在辨析中抓住概念的本质，通过“咬文嚼字”和“刨根究底”，充分地揭示数学概念的内涵与外延，让学生对函数的概念本质有了深刻的理解。

2. 突出数形结合、函数与方程等数学思想方法在解题中的运用

案例2：a取何值时，函数f（x）=（2a-1）x+3a，x<1，loga，x，x≥1在整个定义域R上是减函数？

教师可引导学生用图象进行分析，参数a变化时，函数的变化如下：

接着请学生总结：如果函数f（x）=f1（x），x≤0，lf1（x），x>x0在R上单调递减，则f（x）满足什么条件？

评析：在这个案例中函数的单调区间是否能并在一起，是许多学生没搞明白的一个问题。解题时学生一般知道需要条件 （2a-1）<001oga1，画图可让学生明白其中的原因：函数f（x）=f1（x），x≤0，lf1（x），x>x0在R上单调递减，则f（x）满足两个条件：（i）f1（x）在（-∞，x0）上单调递减，f2（x）在（x0，+∞）上单调递减；（ii）f1（x0）≥f2（x0）.学生通过图象得到直观清晰的认识，进而引发对这一问题本质的思考。

3. 化抽象为具体，通过具体的函数模型加深对函数抽象问题的理解

案例3：已知函数y=f（x）的定义域为[0，4]，求函数y=f（x2）的定义域。

教师可先让学生思考下列问题：

评析：本案例中学生容易这样犯错误：因为0≤x≤4，所以0≤x2≤16，所以y=f（x2）的定义域为[0，16]。出现错误的原因是函数记号f（x）和f[g（x）]的形式太抽象，学生难以理解。教师注意应以具体例子为载体化解函数的抽象性，将问题有效地过度到學生可以理解的教育形态。为了学生理解，问题（1）（2）通过具体的、简单具体事例，使学生明白了已知y=f（x）用代入法求解析式y=f（g（x））时g（x）应放的位置，问题（2）使学生明白了g（x）=x2整体位置与y=f（x）中x位置一样所以范围一样，从而“恍然大悟”，悟出：（i）定义域指自变量的范围的集合（ii）保持y=f（g（x））中g（x）与y=f（x）中x整体范围一样。

4. 注重函数题型的归类，强化对错题的反思与总结

（2） 求f（x）=4x-2x+1+2（x≥1）的值。

（3）已知方程（1gx）2-algx+1=0有两个大于1的不同实数根，求实数a的取值范围。

（4）已知函数f（x）=lg[（a2-1）x2+（a+1）x+1]，且f（x）的值域为R，求实数a的取范围。

评析：本案例中我将一些函数相关题型放在一起，让学生在这些题中去发现“换元法”，从而找到共性的东西。通过在不同函数问题中的应用，学生能够体味到设元的技巧、换元的使用方式，同时还能发现换元法具有显露隐含，防止错解，化难为易，把复杂问题简单化的良好作用。

5. 利用函数的观点去认识函数与其他数学知识的内在联系

这个例子可以看出函数观点在求解解析的最值问题中的重要性。此外函数观点处理数列、线性规划的最优解、方程的根等问题方面也有着重要的应用，很多问题都能用函数性质去解决。用函数的思想观点去解决问题既能实现变量的动与静、数与形、外在与内涵的辩证统一，也能反过来加深我们对函数性质的理解与学习。

附：小课题《高一数学学情研究与教学策略》课题编号：GDXKT4399

[ 参 考 文 献 ]

[1] 张宇. 浅谈高中数学思想方法在解题中的重要性[J]教学研究2009，（10）.

[2]康井荣 突破函数概念教学难点的几点对策[J] 中学数学教学2014，（3）.