时序模型理论与建筑物变形规律分析

于海威++周倩倩++安亚冲

摘 要：提出了利用动态的时间序列对建筑物变形的观测数据进行处理与研究的模型和算法，基于各期观测数据之间的相关性建立时间序列模型，对变形体进行实时动态的变形预报。并结合一组实例数据建立了MA模型进行分析和预测，将预测结果与实际数据相比较，发现能够取得较好的拟合效果与精度。结果表明： 在合理的预测步数内，MA模型能够客观的指导和评价目标建筑物的质量状况，正确反映其变形规律和发展趋势，具有一定的实用价值。

关键词：建筑物 时间序列 变形监测 MA模型 预报

中图分类号：TUl96 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）07（b）-0000-00

变形监测是对被监测的对象或物体进行测量，以确定其空间位置及内部形态随时间的变化特征[1] 。目前变形监测数据的分析理论比较成熟和常用的是回归分析[2]。它的主要思想是：尝试寻找对建筑物变形有影响的主要因子，剔除弱影响因子，建立变形量与各因子之间的多元线性关系[3] ，进而进行分析与预测。但缺点是：寻找因子变量比较困难，难以保证各因子之间是相互独立或不相关的，且建立回归方程需要丰富的经验知识[3， 4] 。相对来说，当只有变形量，而缺失其他信息时，时间序列分析的建模过程则比较简单。它的出发点是承认数据的有效性和相关性，只需得到变形数据序列自身的规律性[5， 6]，不需要考虑其它数据的影响，也不必考虑它们是否相关，具有极大的优越性，所以在动态数据处理中有着越来越广泛的应用。

1 时间序列模型及算法

1.1 建模思想

时间序列是一组按照一定的观测顺序获得的具有动态统计特性的观测数据，并且彼此之间具有记忆的特征[7， 8] ，时间序列建模就是建立数据序列的过去值与将来值之间的联系，寻找其变化规律[9]。如果一个时间序列能够满足平稳、正态的条件[10] ，就可以同其前p步的观测值及前q步的扰动值建立模型ARMA（p，q），（p阶平稳自回归q阶滑动平均模型）：

（1）

其中：p为自回归阶数，q为滑动平均阶数， 为模型参数， 为白噪声序列 ，对 。引入延迟算子B， 。则模型可变为：

（2）

当q=0时，ARMA模型就成为了AR（p）模型（平稳自回归模型）：

（3）

当p=0时，ARMA模型就成为了MA（q）模型（滑动平均模型）：

（4）

1.2 数据分析与处理

获取变形数据后，需要检验数据序列的平稳性。如果数据序列是非平稳的，可利用差分、季节差分、对数变换与差分运算等手段进行平稳化[11]。事实上，任何非平稳的时间序列只要通过适当阶数的差分后平稳，就可以对差分序列进行ARMA模型拟合[12] 。

差分处理：对于非平稳模型 （5）

可引入差分算子 ，则 ，通过适当的差分运算可得

（6）

1.3 模型的识别与初步定阶

模型识别可采用相关函数法，即依据ACF和PACF的拖尾性与截尾性，判断依据如下：自相关函数估值拖尾，偏相关函数估值p阶截尾，可判断为AR（p）模型；自相关函数估值q阶截尾，偏相关函数估值拖尾，可判断为MA（q）模型；自相关函数估值和偏相关函数估值均拖尾，可判断为ARMA（p，q）模型。只是ARMA模型阶数的确定更加复杂，通常采用从低阶到高阶逐个取为（1，1），（1，2），（2，1）…定出估计模型，再进行模型估计和检验，直到被接受为止。

1.4 模型检验

相关函数方法是利用相关函数的截尾性来确定模型的阶数，是初步确定阶数的范围，还要用F检验法进行检验判别，有判别式： （7）

其中： ， 分别为ARMA（p-1，q-1），ARMA（p，q）的残差平方和，N为样本长度。给定显著性水平 查出临界值 ，若 则H0成立，可取ARMA（p，q）为合适模型，否则模型阶数仍有上升的可能。

如果所建立的模型是合适的，该序列就应该是白噪声序列的样本序列，模型是否合适，可通过检验该序列是否为白噪声序列来判断。N充分大时，有 ，因此可用 分布检验法来检验模型是否合适。

1.5 参数估计与预报

模型的阶数p，q确定后，就要对模型参数进行估计，这也是建立时间序列模型的关键，一般通过最小二乘法迭代求出参数的精确估计值。线性函数如下：

（8）

所以 的最小二乘估值为 ，噪声的估值为 。

在许多实际应用中，进行时间序列分析，建立模型的主要目的就是对未来的发展趋势进行数值预报，进而采取相应措施 。在确定模型的各项参数之后，就可以进行预报了。

2 实例分析

地铁二号线经过解放碑，该地是重庆的重要标志，周围高耸建筑物较多、人口密集，现对该站周围建筑物实施了沉降观测 ，每天观测值为一期 ，共观测29期，获得了点的累积沉降序列。现选取该站某一观测点J2的沉降数据进行分析预报，观测数据如下表1。

表1 观测值表

序号 观测值 m 序号 观测值 m 序号 观测值 m 序号 观测值 m

1 3.790 0 9 3.786 3 17 3.786 6 25 3.786 2

2 3.789 2 10 3.786 0 18 3.786 6 26 3.786 0

3 3.788 6 11 3.785 5 19 3.786 4 27 3.784 0

4 3.788 1 12 3.786 1 20 3.785 8 28 3.786 6

5 3.787 9 13 3.785 2 21 3.7861 29 3.786 1

6 3.787 5 14 3.785 6 22 3.785 8

7 3.788 2 15 3.786 3 23 3.785 6

8 3.786 1 16 3.785 6 24 3.785 9

2.1 数据差分处理

作时序图，如图1所示。

图1 J2点时序图

原时间序列为非平稳序列，需进行二阶差分，差分结果如图2。可以看出，差分后数据变为平稳序列，可以进行时间序列建模。

图2：2阶差分时序图

2.2 模型建立

计算协方差和相关系数，得到自、偏相关系数图如下图3。

图3：自相关偏相关系数图

由图可知该序列的偏相关系数 衰减缓慢，且当k增大时有明显的趋于零的趋势，所以 是拖尾的。自相关系数 在k=2时急剧减小，且在k=2及之后的值全小于 ，所以认为 在k=1处截尾，初步判断模型为MA（1）。

2.3 模型检验

1） F检验：通过计算可得MA（1），MA（2），MA（3）的残差平方和分别为为 ， ， 。取显著性水平 =0.05，对于MA（1），MA（2）模型有F> ，则原假设 成立，即MA（1）不合适。继续检验MA（2），MA（3）模型有F < ，原假设 不成立，可取MA（3）为合适的模型。经检验最终确定合适的模型为MA（3）。

2） 白噪声检验： 取k≈N/10=2，可用 检验法来检验假设 ： 是否成立。在显著性水平 =0.05下，经计算得Q< ，所以接受假设 ，即就模型噪声的独立性而言所建立模型是合适的，检验结束。

2.4 预测结果及分析

利用建立的时序模型对变形数据进行预测，效果如下图4所示。

图4：模型的预测效果

从预测值和观测值的比较结果来看，可得出两点结论：

（1）在短时间预测内，J2点的观测值与预测值的误差均在 范围内，误差较小。预测效果较为理想，能够准确的反映建筑物变形的变化规律，预测其变形的发展趋势，具有一定的实用性，可以作为监测预报的依据。

（2）时间序列模型对于短期内的预测精度较高，当时间延迟过长时，误差会越来越大，要根据其特点进行合理的运用，及时更新模型，避免预测时间过长导致错误。

3 结语

本文通过分析时间序列模型及其在大型建筑物变形中的监测效果，揭示了时序模型在工程预测中的适用性。时序模型预测对变量间的关系要求较低，在工程实践中能够实时动态地建模、预测变形情况，同时又具有较高的预测精度，有利于监测工程的质量，并随时做出调整。在建筑行业快速发展的今天，充分利用时间序列模型的优势，并结合实际情况，实时、准确的把握建筑物的变形动向，将为人们的生产和生活带来诸多的安全保障。

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