初中数学习题的再加工

刘通

[摘 要] 通过“一题多问” 和“一题多变”等方法对数学问题进行再加工、再创新，能够引导学生思考，便于学生自主探究，有利于激活学生思维，同时也能方便师生共同整理知识，整顿解题习惯，整合思维.

[关键词] 习题创新；一题多问；一题多变；数学教学；教学案例；习题创新

如何将课本知识以适当的方式传授给学生是教育界历久不衰的讨论话题. 本人认为：除了按常规教学施教之外，应随时随处挖掘教材，适当拓宽教材内容，培养学生的逻辑思维能力. 既抓学生基本知识的掌握，又兼顾学生基本技能的培养，更要适当拓展现有的课本知识，使学生走向良性的学习轨道. 本人在这方面利用教材的现有知识和例题进行尝试，自认为有可取之处，故聊以笔谈，供同行参考借鉴.

一题多问，引导思考，激活思维

在平时的初中数学教学中，碰到的多数习题一般只要求解答单方面的问题，对知识和能力的考查比较片面，学生的思维得不到充分训练，我觉得习题课题目的选择和教学安排应遵循两个原则：一是整理知识，整顿习惯，整合思维；二是引导思考，自主探究，激活思维. 如果在习题课上先确定好这一节课的目标以及每个选题的目标，然后围绕这一目标进行广泛阅读、筛选、重组，尽量编成“一题多问”的题目，这样便能将很多知识点在同一道题中有机地结合起来，沟通多个知识点的内在联系，考查学生综合运用数学知识的能力，从而训练学生从多角度、多层次认识事物的能力，提高学生的综合思维能力. 以下是本人对一次函数单元教学习题课设置的“一题多问”教学案例.

案例1？摇 八年级上册第五章上完后，为了使学生掌握一次函数的定义、图象、性质、应用，我安排了习题课，编成“一题多问”的习题.

问题设置：已知一次函数y=x+4.

（1）它的图象经过第______象限，不经过______象限.

（2）y随x的增大（减小）而_____（______）.

（3）它的图象与x轴交于点A（？摇？摇 ），与y轴交于点B（？摇 ）.

（4）画出此函数的图象.

（5）S=______.

（6）原点O到直线AB的距离是____.

（7）直线AB上到x轴距离为1的点的坐标是______；直线AB上到y轴距离为1的点的坐标是______.

（8）当x___时，y>0；？摇 当x___时，y=0；当x______时，y<0.

（9）当-6≤x≤3时，y的取值范围是______.

（10）点M（3，8）______直线AB上，点N（-2，5） ______直线AB上（填“在”或“不在”）.

（11）将直线AB沿y轴向______平移______个单位长度，得y=x.

（12）将直线AB沿x轴向右平移1个单位长度，得到的直线方程为______.

（13）与直线AB平行，且过点（1，-1）的直线方程为______.

（14）与直线AB的距离是的直线是______.

（15）将直线AB沿y轴翻折，得直线______.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

（16）直线AB与直线y=-x+2的交点P的坐标为______.

（17）直线AB与直线y=-x+2和坐标轴围成的四边形的面积是______.

（18）学以致用乃数学之魂，请编一道与你生活、学习密切相关的实际问题，使问题中的两个变量x，y满足已知的一次函数.

例：某市出租车，行程3 km内收起步费8元，行程超过3 km时，每超过1 km（不足1 km以1 km计算）加收元，则车费y（元）与行程x（x>3）（km）之间的函数关系式为____________________.

这样一连串由浅入深的问题提出，就把一次函数的定义、图象、性质等联成网络.

案例2？摇 九年级上册第一章用一元二次方程解决问题中的问题设置.

例题：在矩形ABCD中，AB=6 cm， BC=12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，问：

（1）几秒后△PBQ的面积等于8 cm2？

（2）几秒后△PDQ的面积为8 cm2？

（3）几秒后△PDQ为直角三角形？

（4）几秒后△PDQ是等腰三角形？

通过“ 一题多问，多题归一 ”，进行有的放矢的精解和拓宽，可以使思维具有概括性.

一题多变，比较鉴别，多向思维

在教学中往往会发现这样的情况：不少学生做了大量的习题，解题能力却仍不见提高，或提高甚微，一个重要的原因就是忽视了解题后的反思及纵向、横向、逆向、双向等多角度、全方位的思考，通过一题多变训练，可以使学生认清各个变式题之间的联系与区别，可以开拓学生的解题思路，提高学生思维的发散性、灵活性和创造性，能进一步深化对知识的理解和掌握，达到一题多得（知识、思路、方法等）. 一题多变的教学形式有利于激发学生的创造性思维及提高学生运用数学知识分析、解决实际问题的能力，有利于激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习的自觉性，从而使教师与学生从题海中解放出来，真正减轻教与学的沉重负担. 数学教学过程中一题多变有多种形式：①改变或增减已知条件；②改变设问角度；③因果变换；④定内容变题型；⑤定内容变难度；⑥具体问题抽象化、复杂化……由于篇幅有限，本人在下面仅举三种变式的教学案例.

1. 改变或增减已知条件

从题目的各个方面联想、类比，通过条件变式，变换条件，引入新问题，促进学生积极思考，认清各个变式题之间的练习与区别. 这样，一方面可以充分揭示数学问题固有的思维层次，另一方面，可以充分暴露学生的思维层次，让学生在两种思维的层次比较中了解自己，吸取数学思维的营养.endprint

例题：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件进价100元，售价定为140元，为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. 如果商场通过销售这批衬衫每天要赢利1200元，衬衫的单价应降多少元？

变式1：在例题的“增加利润”后面添上条件“尽量减少库存”，其他不变.

通过这一变式，让学生知道在做解决实际应用题时，要注意检验方程的解是否符合题意或符合实际意义，对方程的根进行取舍.

变式2：将问题中的“单价应降多少元”改为“售价为多少元”，其他不变.

对于这一变式，学生会习惯性地直接设未知数解决问题，但其实间接设未知数较简单.

变式3：把问题中的条件“衬衫的单价每降1元”改为“衬衫的单价每降0.5元”，其他不变. （只设未知数、列方程，不解方程）

通过变式，使问题有梯度，难度逐渐加深，引导学生发现用售价x表示多售件数和销售数量变得复杂了：设单件降了x元，则多售2×件.

变式4：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件进价100元，售价定为140元，为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件. 用配方法求出要想每天赢利最多，单价应降低多少元？

通过这一变式，既巩固了本节内容，又复习了前面刚学过用配方法求最值的难点.

2.？摇改变设问角度

例：已知点P是一次函数y= -x+6在第一象限图象上的点，又点A的坐标为（4，0），问：点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

分析：由于题目并未指明等腰三角形的哪条边为底，哪条边为腰，所以应引导学生分情况进行探讨（PO=PA，PO=OA，PA=OA）. 解略.

？摇变形：若条件不变，使三角形AOP为等腰直角三角形的点P是否存在？成为等边三角形呢？

这样层层深入，让学生自己去探讨结果，研究规律，其收获绝非简单地改改题那么简单. 长此以往，能使学生养成多问多思的积极思考习惯，大大提高学生的数学能力.

3.？摇因果变换

“因果变换”的变式练习，在几何证明题中出现得较为普遍，本人在此不再出现此类型的题目，就编几道填空题供大家参考.

例：（1）①点A（-2，3）关于x轴对称的点B的坐标是______；

②点A（-2，3）与点B（2，3）关于______对称.

（2）①点A（-2，3）向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度后得到的坐标为______；

②点A（-2，3）先向______，再向______，可得到点B（2，-3）.

（3）①点A（-2，3）到x轴的距离为______，到y轴的距离为______；

②到x轴的距离为2，到y轴的距离为3的点的坐标为______.

（4）①如果点P（m，n）在坐标轴上，那么m，n应满足的关系是______；

②已知点P（m，n），如果mn=0，那么点P在______上.

这样的训练可以培养学生横向、逆向的思维.

上述案例让我们认识到，“一题多变”不仅能激发学生的学习兴趣，提高学习的积极性与主动性，而且能使学生从一类问题的解法上达到举一反三的目的，在探索过程中能有效地提高创新能力. 因此，教师要善于选择适当的例题加以推广、引申，引导学生提出新问题，寻求新结论.

实践让我体会到“一题多问”和“一题多变”对数学问题进行再加工、再创新，能够引导学生思考，便于学生自主探究，有利于激活学生思维. 同时，也方便师生共同整理知识，整顿解题习惯，整合思维.endprint