新五维混沌系统及电路实现

梁欣涛++高华强++康守强++朱建良++王玉静++郑势

摘要：构建了新的五维混沌系统，进行离散混沌模型的仿真，给出了系统的混沌吸引子相图，对该系统的耗散性、吸引子的存在性、平衡点的稳定性、Lyapunov指数及维数、功率谱、Poincare截面图、Lyapunov指数谱、分岔图特性进行分析，结果表明该系统具有混沌特性，有复杂的动力学行为，且该行为对系统参数具有敏感性.为了使混沌得到更广泛应用，采用数字电路实现该系统，对离散化的五维混沌系统进行Modesim仿真，将VHDL程序配置到FPGA中，并利用数模转换模块在示波器上观测到了该系统的混沌吸引子相图.数字电路实验结果与离散模型仿真分析是一致的，进一步从物理实现上说明了系统的混沌特性.

关键词：混沌系统；分岔图；Lyapunov指数；电路实现

DOI： 10.15938/j.jhust.2015.03.020

中图分类号：TN911.73

文献标志码：A

文章编号：1007-2683（2015）03-0101-05

0 引 言

构造全新的混沌系统或改进型混沌系统，在此基础上，对其混沌特性及其应用进行分析研究，这是目前国内外研究混沌的一个热点课题.混沌系统主要有离散混沌系统和连续系统两大类.离散混沌系统典型的有一维抛物映射（Logistic映射）和二维的Henon映射.连续混沌系统较多，典型的有广义Lorenz系统族、Rossler系统、Chua系统、Sprott系统、Chen系统、Lu系统、Liu系统、Qi系统等.近年来，为了构建新的复杂的混沌系统，学者们利用各种方式来构建新的高维混沌系统.对新混沌系统的构建与分析进一步丰富和完善了混沌理论，为混沌应用提供了一些新的技术手段，从而促进了混沌在自然科学、电子、通信以及其他工程应用领域的发展.具体的应用比如：研制混沌信号发生器、高容量动态信息存储器、信息加密、保密通信、信号检测与处理等.在某些应用中，混沌系统如果采用模拟器件实现，由于元器件参数的离散性等因素，使应用系统的实现很困难，解决该问题的有效途径是基于连续混沌系统离散化和数字化处理技术来实现混沌序列及算法，进而利用先进数字处理器件与技术来实现.该方法为混沌的应用，尤其是在混沌保密通信领域中的应用提供了强大的技术支持.

本文构造了一个新五维二次的混沌系统.该系统每个方程中各含有一个二次的非线性交叉乘积项，所需乘法器数量少，实现简单.对新五维混沌系统进行数值模拟，对系统的耗散性、吸引子的存在性、平衡点的稳定性、Lyapunov指数及维数、功率谱、Poincare截面图动力学特性进行研究，根据分岔图和Lyapunov指数谱详细分析了混沌行为的系统参数敏感性，其中部分参数在很大范围内呈现混沌.最后，利用FPGA实现了新五维混沌系统的硬件电路，在示波器上观察到混沌吸引子相图，证实了该系统的可实现性.

1 新的五维混沌系统

本文提出的新五维混沌系统的数学模型为：其中， 为常数，当

时，系统存在典型的部分混沌吸引子，如图l所示.

由图1可以看出，提出的五维混沌系统所产生的混沌吸引子相图清晰、饱满.由于该混沌系统对初值极为敏感，它表现为局部不稳定，而从相图的形成过程可看出系统又是从暂态向渐进稳态运动，寻求稳态，系统的运动轨迹靠近又分开，分开又反折而靠近，来回折叠无数次，形成复杂吸引子结构.

2 基本动力学特性

2.1耗散性和吸引子的存在性

由于

即随着时间的推移，包含系统轨迹的每个体积元以指数率 收缩到零.这种体积收缩作用将使相轨迹必须折回来，即产生折叠运动.拉伸运动和折叠运动两者相互作用的结果，只能是形成具有分形和分维的混沌运动，因此，从该角度定性分析出了系统（1）可形成混沌吸引子.

2.2平衡点及稳定性

系统（1）的平衡点可解下列代数方程组得到：

给定系统（1）中的参数值后，系统（1）的6个平衡点分别为：

考察系统的稳定性，对系统在各平衡点处线性化，得到Jacobi矩阵并计算各平衡点对应的特征值，在平衡点So处的Jacobi矩阵为

根据 ，得到其特征值为

.这里5个特征根的实部有正也有负，根据Routh-Hurwitz条件，可得平衡点SO是不稳定的鞍点.同理，可得到其他平衡点对应的特征值，结果如表1所示.

从表1可以看出，每个平衡点对应的所有特征值中至少有一个实部为正，且至少有一个实部为负，因此系统（1）的所有平衡点均是不稳定的鞍焦点.

2.3 Lyapunov指数与Lyapunov维数

Lyapunov指数（简写为LE）是混沌系统中定量描述状态空间混沌吸引子轨线彼此排斥和吸引的且.本文利用LET程序包，计算得到系统（1）的所有Lyapunov指数分别为 .如图2所示.可见，该系统具有正的Lyapunov指数，是混沌系统.

新五维混沌系统Lyapunov指数的维数为：

这里， ，其中j是保证 的最大 值.因此可求得 的大小为：

即该系统LE的维数是分数维数，也就是所谓的分维，这点也证明混沌的存在.

2.4 时域波形、功率谱及Poincare截面图

混沌系统的时域波形具有非周期性，以分量X3和 为例，从图3的（a）和（b）可以看出系统（1）的时域波形具有这种特点.而从图3的（c）和（d）可以看出，他们的频谱存在连续宽频带特性，没有明显的波峰，并且峰值连续，说明系统（1）具有混沌特性，

利用Poincare截面图进一步分析系统（l），给定系统（1）中的参数后，选择既不包含系统的轨迹，也不与轨线相切的平面作为Poincare截面，通过观察截面上截点的情况，判断系统是否可产生混沌运动.如图4所示，得到系统（1）在几个截面上的Poin-care映像，可见，在Poincare截面上有无穷多个分形结构的密集点，形成一段连续的曲线，进一步说明了此时系统的运动是混沌的.

2.5 Lyapunov指数谱、分岔图

如系统（1）参数改变，系统平衡点的稳定性将发生变化，其运行状态也发生相应的改变.随参数变化的Lyapunov指数谱和分岔图可以直观地分析出系统状态变化情况.以系统（1）中的部分参数变化的情况为例进行讨论.

1）参数k变化情况：其他参数不变，改变k，

令参数k在[O，5.9]范围内变化，图5的（a）和（b）给出了随k变化时的Lyapunov指数谱和分岔图.可以看出二者具有很好的一致性，当k在[0，1.1）时，所有LE均小于零，系统（1）处于稳定状态.当k在[1.1，1.95），且除去1.2附近的值时，LE1大于零，其他LE2等于零，系统处于混沌状态.当k取1.2附近的值时，系统处于周期状态，当k在[1. 95，2.9）时，系统又处于周期分岔状态，当k在[2.9，5.9）时，系统又处于混沌状态，

2）参数d变化情况：其他参数不变，改变d.

令参数d在[0，1000]范围内变化，图5的（c）和（d）给出了随着d变化时的Lyapunov指数谱和分岔图，当d在[0，8]时，系统（1）处于稳定状态；当d在（8，20]时，系统出现倍周期分岔；当d在（20，50]时，系统处于混沌状态；当d在（50，91]时，系统出现倍周期分岔；当d在（91，1000]时，系统又处于混沌状态，同时在整个混沌带内存在着数个周期窗口.因此，系统（1）当参数d在[0，1000]内变化时，LE可得到较大值，最大LE可达到5，而且相比其他系统呈现混沌的参数范围较大.

3 系统的离散化仿真及FPGA实现

3.1 混沌系统的Modelsim仿真

为了采用数字电路实现新五维混沌系统，对该系统模型进行离散化，得到VHDL语言程序文件.利用Test Bench生成.tcl文件用于Modelsim进行RTL门级仿真，系统的xl、x2、x3、x4和x5变量的Modelsim仿真波形如图6所示.可见，该离散化仿真结果与图3中时域波形的Matlab仿真结果完全一致，说明新五维混沌系统离散模型正确，并可以在FPGA中实现.

3.2 系统的FPGA实现

用Modelsim进行功能仿真后，将VHDL语言程序配置到FPGA中，本文选用型号为EP3C25E144C8的Cyclone系列FPCA构建系统，以验证混沌吸引子的存在，通过高速数模转换芯片DAC904E，利用示波器观察到模拟混沌吸引子相图.为了和数值仿真结果做比较，本文在图7中给出了五维混沌系统的部分吸引子相图，这些相图分别对应于图1中给出的数值仿真相图，可见，通过示波器观测到的相轨迹图同数值仿真分析是一致的，从物理意义上进一步验证了新五维混沌系统的混沌特性.

4 结 论

本文提出一个新的五维混沌系统，对其进行了数值仿真，分析了基本的混沌动力学特性，定性地确定了系统混沌的存在性.并且该系统呈现混沌的d参数范围很大，当该参数变化时，系统的最大Lya-punov指数可达到5，存在复杂的混沌动力学行为.最后，设计实现了该系统的硬件数字电路，在示波器上观测到的吸引子相图同数值仿真分析一致，从物理意义上进一步验证了五维系统的混沌特性.提出的五维混沌系统及实现的电路可为随参数变化的混沌信号发生器提供依据，也可为提高混沌保密通信安全性、混沌数值通信的可靠性及其他应用提供新的信号源.