数形结合思想在高中数学教学中的运用

潘璐璐

[摘   要]高中数学教师不仅仅是要学生掌握必要的、重要的数学知识和概念，更应在教学中培养学生掌握研究和学习数学的思想方法，为学生的后续发展打下基础。其中数形结合是很重要的一种数学研究思想，通过数与形的结合，把抽象的数学规律和概念，转化为直观的图形，便于学生理解和掌握。

[关键词]数形结合;高中数学;集合问题;运用

当前，我国的高考试题越来越开放，命题形式也呈现多样化趋势。如探究题、应用题、情景题、开放题等占了更多的分值，这类题型考查的是学生的创新和应用能力，考查学生对数学知识和概念理解的深度和准确度，考查学生对数学知识的综合应用能力，考查的是学生的数学思想方法和数学能力，处处体现了对学生能力的考查。这就要求教师在数学教学中必须强调数学思想的培养和运用，从总体上梳理、把握各部分知识的本质和相互联系。数学思想方法有很多，其中数形结合是最基本、最重要的方法。通过设计数形结合题型，不仅考查了学生对基本的数学符号语言、数学图形语言的理解，以及它们之间的互补、互译、互化关系;还考查了学生的想象能力、构图能力、数形结合的综合应用能力，这最能体现出学生在解题中的思维过程和方法，学生是否运用了数学的思维和方法。如今，数形结合是高考中必考内容之一，学生只有通过数与形的互译、互化、互补才能正确处理相关问题，得出合理、准确的答案。

一、数形结合思想教与学的现状

目前，大多数数学教师已深刻认识到了数形结合思想方法的教育价值和重要作用，并且很多教师已经深入参与到它的理论研究和实践探索中。但教学实践中发现，真正做到把数形结合思想落到实处的教师还是少数，更多的教师在教学过程中，并不能合理有效地布点，存在盲目性大、形式主义的现象，还做不到由浅入深、有计划、有系统、有层次、有过程地实践数形结合思想方法，甚至有些教师只是把这种思想方法当作一种解题手段，在实践操作中，蜻蜓点水，一带而过，学生根本体会不到数形结合的真谛。具体表现如下：

（1）照本宣科，以教材为标准，只讲教材中标识出来的概念、定理、规律，不会补充、引伸、拓展。

（2）轻视数形变换的过程教学。教学中，对数形的互译、互补过程讲授过于简单，学生根本体会不到数形结合的重要意义和必要性。

（3）教师制图能力差。有些教师作的图形不规范，不准确，不能表达要说明的主题。

（4）几何语言训练不足。教学中发现，很多学生不能熟练地运用几何语言说明问题。

（5）教师和学生没有构图意识。由于缺乏足够的训练和重视，造成学生不能熟练运用几何构图来解决和说明问题。遇到问题，没有构图的意识，分析问题的能力很差。

由上面的分析可以看出，数形结合思想在数学教学中是多么重要，教师一定要重视和发挥数形结合思想的积极作用，提升教学质量和效果。

二、数形结合思想在数学教学中的运用

新课程标准已经明确指出，让学生获得必要的数学基础知识以及基本技能，理解数学的基本概念与结论本质，同时了解数学概念与结论的产生背景，让学生在学习中体会其中所蕴含的数学思想与方法是现代高中数学教学的教学目标。中学数学的教学内容在要求与处理上都力图体现数学思想方法，但是一些学生在运用数学思想的过程中，当面对新的情景时就会不知所措，其主要的原因就是数学思想没有被内化。下面围绕数形结合的思想，结合相关数学案例，谈谈在高中数学教学中应该怎样让学生在掌握数学知识和技能的同时，还能够从思维的高度培养学生的数学思想意识以及数学研究能力。

1.解决集合问题

在高中数学教学的过程中，在集合运算中经常需要借助数轴与venn图来处理，这样能够使问题得到简化。在具体的教学过程中，需要让学生先从字面上理解“交”“并”以及“补”的涵义，其次可以让学习从venn图上直观感受“交”“并”以及“补”的涵义。在这样的一种情况下，就能够让学生从不同的角度来体会集合的运算，从而进行数学思想的渗透，通过以下这个数学案例就能够说明。

问题：某个班里面总共有30名同学，在这30名同学中有15人是喜欢篮球运动的，有10人喜欢乒乓球运动，有8人对这两项体育运动都不喜欢，请问喜爱篮球但是不喜欢乒乓球的人有多少？

分析：在解答这道问题的过程中，可以先将题目中的文字语言转换成集合语言，假设U是全班的总人数，而A、B是分别表示喜欢篮球与乒乓球的学生，再利用Venn图就能够非常直观地解答出来。

具体的解答步骤如下：先假设喜爱篮球同时又喜欢乒乓球的人是X，因此就可以得到喜爱篮球但是不喜欢乒乓球的人有15-X，同时也能够得到喜爱乒乓球但是不喜欢篮球的人就是10-X，最后结合他们班的总人数30，就能够轻易得到X=3，同时也就能够得到喜爱篮球但是不喜爱乒乓球的人有12人。

在本次解答过程中，教师让学生们先将问题的文字语言转换成集合语言，之后在借助Venn图来进行分析，这样就能够充分体现Venn图的简捷与直观，进而能够在数学教学中进行数形结合思想的渗透。

2.解决方程与不等式的问题

在高中数学教学的过程中，在解决方程问题的过程中，可以将方程中根的问题当成是两个函数图像的交点问题，而在处理不等式的时候，可以先从题目中的条件与结论开始，结合函数进行分析，从图形上找出解题的思路，如教学案例：

问题：函数的零点个数有几个？

分析：学生需要进行的活动是，让学生考虑方程f（x）=0的根，是否可以直接求解？而教师需进行的活动是，应该要考虑哪个数学定理，是否还有其他的求解方法？之后就可以进行师生互动。

在解答的过程中，主要有两种不同的解答方法。第一种方法是，先运用零点存在定理，从而可以估算出零点存在的区间是（0，1），然后就可以用复合函数的方法分析函数f（x）的单调性，这样就能够得到在定义域上是增函数，并且这个方程存在的零点只有一个。第二种方法是，先分析这道题想要考查是哪方面的知识，从表面上看，这道题是考查零点问题，其实是考查函数的单调性，这样在解题的过程中就会运用到幂函数与指数函数，可以先令f（x）=0，这样就能够画出相应的图，通过该图就能够轻松地发现其零点只有一个。

在高中数学教学中，要让学生由“数”直接想到“形”，对学生来说是有一定困难的，而学生之所以在学习的过程中明白数学的理论知识，但是在实际应用的过程中却不会运用，其主要的原因就是学生缺少体验。因此教师在教学的过程中，要先让学生自己去探索、体验，要让学生经历“数—形—数”的思维过程，比如这道考题，就是要让学生认识到在解决方程问题时可以转换成函数的交叉点问题，从图形中发现问题的答案，让学生认识到数形结合思想在解答问题中的好处。

“数相结合”其实就是数量与图形之间对应的关系，在数学中需要将数学语言与图形结合起来，要让学生将抽象思维与形象思维结合起来，让学生在解决数学问题的过程中，能够将数与形进行相互转换。通过应用数形结合思想来解答数学问题，能够使数学中一些非常抽象的问题变得直观化，同时也能够将一些复杂的问题简单化，最终就能够找到一种非常有效的解题方法，起到事半功倍的效果。

高中数学是学生真正接触数学本质的开始，学生在学习的过程中会遇到许多从未见过的难题，许多数学问题都比较抽象。因此教师应该在具体的教学过程中，逐步渗透数形结合的思想，让学生能够在学习的过程中感悟数学思想，让学生逐渐形成数形结合的良好学习习惯，让这种学习习惯成为学生分析与解决数学问题的一个有力工具，这样就能够真正地达到现代数学教学的目标。

责任编辑   潘中原