有趣的有理数

蒋晓棠

利用有理数的乘方解决实际问题，是“有理数”这一章节的重点内容之一. 在学习这一课的时候，我遇到了几道有趣的题目，现与大家分享.

问题一：手工拉面是我国的传统面食. 制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为“一扣”），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多根细细的面条. 你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？

【思考与分析】一根面条拉扣1次成21根，拉扣2次就成22根……每拉扣1次，面条数就增加1倍，拉扣6次，共有面条26 =64（根）.

这一题应用了有理数的乘方法则，如果将拉面换为绳子，将根数换为段数，会出现什么情况呢？

问题二：将一根绳子对折1次，从中间剪断，绳子变成了3段（因为对折的点没断开，如图1所示）；对折2次从中间剪断，绳子变成5段（如图2所示）；对折3次，从中间剪断，绳子变成9段（如图3所示）……以此类推.

（1） 将一根绳子对折4次，从中间剪断，绳子变成几段？

（2） 请你猜想：将一根绳子对折10次，从中间剪断，绳子变成几段（结果保留幂的形式）？

【思考与分析】这三幅图有何异同？有规律可循吗？解决问题的突破口在哪里？

带着这些问题，经过仔细观察，我发现了一个现象：

将一根绳子对折1次从中间剪断，绳子变成3段，有21+1=3.

将一根绳子对折2次，从中间剪断，绳子变成5段，有22+1=5.

将一根绳子对折3次，从中间剪断，绳子变成9段，有23+1=9.

综上所述，我们可以依此类推，将一根绳子对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段.

【问题解答】

（1） 将1根绳子对折4次，从中间剪断，绳子段数为（24+1）段.

（2） 将1根绳子对折10次，从中间剪断，绳子段数为（210+1）段.

以上的两道题，看似相似，实则不同，问题的解答，关键是对折点是否连接. 通过对以上两道题的比较、探索、研究，我对数学产生了更浓厚的兴趣. 数学王国的探究无止境，只有多研究，多思考，才能在数学这一广阔的领域中开拓出一片新的天地.

教师点评：此类问题考查学生通过观察、归纳，抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案，这一题也考查了有理数乘方的应用.

（指导老师：孙中兴）