有理数中的数学思想方法

许峰

同学们刚进七年级就学习到有理数，扩充了数系，开拓了自己的知识视野.有理数中蕴含了丰富的数学思想方法，所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动，所谓的数学方法，是指某一数学活动的途径、程序、手段，它具有过程性、层次性、可操作性等特点. 数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.

一、 数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休. ”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

例1 在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧. 若a-b=2013，且AO=2BO，则a+b的值为_______.

【分析】根据已知条件可以得到a<0

解：如图，a<0

a=-2b②，由①②，解得b=671，

∴a+b=-2b+b=-b=-671.

故答案是：-671.

【点评】教材引入数轴后，就为数形结合思想奠定了基础. 如有理数的大小比较、相反数和绝对值的几何意义，巧妙运用数形结合的思想方法可起到事半功倍的效果. 数形结合的重点是研究“以形助数”，使用数形结合的方法，很多问题便能迎刃而解，且解法简捷.

二、 归纳思想

所谓归纳推理，就是根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理（简称“归纳”）. 归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理.

例2 观察下列按顺序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=_______.

【分析】根据题意可知a1=1-，a2=-，a3=-，…，故an=-.

解：通过分析数据可知第n个等式为：an=-.

故答案为：-.

例3 下表中的数是按一定规律填写的，表中a的值应是_______.

【分析】根据第一行第3个数是前两个数之和，进而得出答案.

解：根据题意可得出：a=13+8=21.

故答案为：21.

三、 建模思想

数学模型指那些反映了特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构，是相应系统中各变量及其相互关系的数学表达. 数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法. 数学建模是一种数学的思考方法.

例4 邮递员骑车从邮局出发，先向南骑行2 km到达A村，继续向南骑行3 km到达B村，然后向北骑行9 km到达C村，最后回到邮局.

（1） 以邮局为原点，以向北方向为正方向，用1 cm表示1 km，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2） C村离A村有多远？

（3） 邮递员一共骑了多少千米？

【分析】本题通过建立数轴，帮助理解题意，C村与A村的距离一目了然，邮递员的路程是无方向的，指OA+AB+BC+OC的长.

解：（1） 依题意得，数轴为：

（2） 依题意得：C点与A点的距离为：2+4=6（km）.

（3） 一共骑了18 km.

四、 算法思想

所谓算法思想，就是按照一定的步骤，一步一步地解决问题的程序化的思想.机械式地按照某种确定的步骤行事，通过一系列小的简单计算操作完成复杂计算的过程，这就是 “算法”过程. 算法是数学及其应用的重要组成部分，算法的意义决定了算法具有机械化和程序化的特点，算法的核心思想就是运用程序化解决问题（正是由于算法这一特点，才使其理论在计算机上得到具体实现与应用）.新课程非常注重学生算法思想的培养，高中还将“算法初步”列为必修内容，当然，中小学数学算法与真正意义上的算法还有一定的区别，但算法思想指导下的数学程序化训练有利于学生数学基本能力的培养，在中小学教材中，体现算法（解决问题的程序化）的知识点非常普遍.

例5 计算：

（1）

-÷

-+（-2）2×（-14）；

（2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）].

【分析】在做有理数的混合运算时，严格注意运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减. 如果有括号，先进行括号内的运算. 运算律的合理运用可以简化运算. 有多重括号时，要根据具体情况，从外到内或从内到外去掉括号. 乘法对加法和减法具有分配律，但除法对加法或减法不具有分配律.

解：（1）

-÷

-+（-2）2×（-14）

=

-×（-6）+4×（-14）

=×（-6）-×（-6）+（-56）

=-3+2-56

=-57；

（2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）]

=-2-[15+（1-0.2）×（-25）]

=-2-[15+0.8×（-25）]

=-2-[15-20]

=-2-（-5）

=3.

五、 符号化思想

符号化思想主要表现在以下两方面：1. 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号化思想. 2. 符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象. 数学离不开符号，数学处处要用到符号. 英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？ 数学就是符号加逻辑. ”

例6 一运动员某次跳水的最高点离跳台2 m，记作+2 m，则水面离跳台10 m可以记作（ ）.

A. -10 m B. -12 m

C. +10 m D. +12 m

【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答.

解：跳水的最高点离跳台2 m，记作+2 m，则水面离跳台10 m可以记作-10 m. 故选A.

例7 未来三年，国家将投入8 450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题. 将8 450亿元用科学记数法表示为（ ）.

A. 0.845×104亿元

B. 8.45×103亿元

C. 8.45×104亿元

D. 84.5×102亿元

【分析】科学记数法的表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数. 确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

解：将8 450亿元用科学记数法表示为8.45×103亿元. 故选B.

六、 分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法. 分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想.

分类讨论的一般步骤是：明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类→逐步进行讨论，获取阶段性结果→归纳小结，综合得出结论.

分类讨论应遵循的原则：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏，不重复，分层次，不越级讨论. 这一点，我们在学习有理数分类时可以体会到.

例8 已知x-1=2，求x.

【分析】根据绝对值的运算法则可知，绝对值等于2的数有两个，分别是+2或-2.

解：由题得：x-1=2，x=3，

或x-1=-2，x=-1，

所以x的值是-2或-1.

（作者单位：江苏省连云港市赣榆外国语学校）