寻求算理与算法的平衡点

卓杨晶

计算教学是小学数学教学的重要内容之一，课程标准明确指出：在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力。《课标解读》强调“选择正确计算的方法、准确得到运算的结果，比运算的熟练程度更重要”，“应当重视学生是否理解运算的道理，准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度。”这就告诉我们，在计算教学中，不仅要关注学生计算方法的掌握，计算技能的形成，更要关注学生对算理的理解。可是在目前的课堂教学中却出现了两个极端：一个是“重算法，轻算理”，一个是“重算理，轻算法”。由此衍生出了这样一幕幕尴尬的场景：当让学生计算时，学生能快速准确地计算出来，而让他们说说为什么要这么算时，学生就哑语了。或者是学生探究算理时说得头头是道，可是一旦动笔计算起来却是错误百出。这种“算理”与“算法”脱节的教学不符合新课程的要求。

“算理”与“算法”两者是紧密相连的，“算理”是学生理解算法的前提，而算法是对算理的总结与提炼。如果只强调算理，却无法实现计算方法上质的飞越，只强调算法，却“知其然，而不知其所以然”，计算就犹如建立在空中的楼阁，很难稳固。那我们该如何找到算理与算法的平衡点，让学生能自由地行走在算理与算法之间呢？

一、借助生动有趣的童话情境，沟通算理与算法的关系

计算教学常常借助一定的情境作为一节课的引入，通过情境的创设让学生提出数学问题，列出算式，并探索出结果。生动有趣的情境，不仅能唤起学生的好奇心，激发学生的求知欲，更能拨动学生的思维之弦，让学生对算理的感悟、算法的探究有物可依，有迹可循，使探索过程充满亲和力和吸引力。特别是低年级的孩子，由于他们的年龄特征和心理特点，他们对所谓的“童话情境”特别感兴趣，有位老师在执教《9加几》时就创设了一个小动物喝牛奶的情境：动物学校的小动物们正在举办运动会，小鹿老师为每个班的运动员都准备了不同数量的牛奶，你能帮助小动物们算算自己的班级有多少瓶吗？（一个盒子里装10瓶，外边分别放着3瓶、5瓶、7瓶）由于这一童话情境是孩子们很熟悉的，因此他们的积极性一下子就被调动起来，为自己能帮助小动物而高兴。这一过程就复习了“十加几的口算”，接下来再出示：飞行猪在计算它们班分到的牛奶瓶数时遇到难题了：（一个本可以装10瓶的盒子里只装了9瓶，外边还有6瓶）你能帮他算算一共有多少瓶牛奶吗？从而引出了9+6这一进位加法。之后让孩子们各自阐述自己的计算方法，并追问：“有什么好方法能让我们算得又对又快？”学生结合这个生动、有趣的情境，很快就想到了把6分成1和5，其中一瓶放到盒子里，盒子就放满了，变成10瓶，10再加上剩下的5瓶就是15瓶。这种先“凑十”再算“十加几”是最简便快捷的。从而为理解进位加的算理做好了铺垫。之后再继续帮助其他小动物计算类似这样的“9加几”的牛奶，学生在这种轻松愉悦的童话情境中顺利地理解和掌握了进位加法的算理和算法。

二、借助直观模型沟通算理与算法的关系

直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料。在计算教学中，算理是内在的魂，而算法是外在的模型。由于不同的孩子在学习同一个知识时，他们的学习起点是不同的，有的孩子常常在不明算理的情况下就已经通过一些途径掌握了所谓的计算方法，却不明白这么计算的“道理”，所以一旦问起你为什么这么算时，孩子们就不知如何回答了，甚至有的孩子认为会算就行了。会算就意味着真正掌握计算了吗？怎样才能引起学生对算理的关注呢？我们可以根据所学知识特点给孩子提供一定的模型，让孩子在模型的演绎中渐渐探明算理，感悟方法。如在探究两位数乘两位数的不进位乘法时，师生通过情境的解读：每套书有14本，王老师买了12套，一共买了多少本？列出算式14×12=？这时教师并不急于寻求竖式计算，而是提供给学生点子图，让他们独立尝试，用自己的方法求出它的积，并在点子图上表示出来。尽管这是孩子们未学过的知识，但他们却能通过自己的理解借助点子图求出它的积。如下图：有的先求出6套的本数，12套里有2个6，所以再乘2，即14×6×2，有的是先求4套书有几本，再求3个4套，即14×4×3，还有的是把12套分成10套和2套，先求10套书的本数，再加上2套书的本数，即14×10+14×2。等等。这个教师适时提供点子图让学生在图中寻找答案的过程，其实就是在探明算理的过程，如下：

在此基础上，教师让学生观察，发现这些方法都是“先分后合”，先把这些两位数乘两位数拆分成两位数乘一位数，然后再合并，把没学过的知识转化为已学过的知识，并告诉学生这是数学中很重要的一种思想方法，即转化法。

接着让学生尝试用竖式计算，并且在点子图上表示出自己的想法，学生随即就会发现竖式计算的方法与上面最后一种口算方法的“道理”其实是一样的。都是把12套书拆分成10套和2套，只不过表达形式不一样，一个是口算，一个是竖式计算。如下：

到这里，很多老师认为竖式的探究已到达目标了，接下去就是如何熟练计算的问题。其实不然，学生对于这个竖式计算的方法与算理还没有真正融合在一起，所以还得借助点子图，继续追问学生：“这个竖式计算都用了哪几句口诀？（二四得八，一二得二。一四得四，一一得一。）它们分别表示点子图的哪个部分？”学生很快就在点子图上找到了这四次相乘的踪迹。如下：

在此基础上，教师利用课件将点子图中的圆点隐去，抽象成一个矩形，用数形结合的方式解释了竖式计算中每一步的意义和道理，并直观地解释了第二层积的末尾要写在十位上的原因。

以上的教学中，教师通过“点子图”这个直观模型，很清晰地演示了竖式计算最简单、最直观的道理和方法，使算理与算法融为一体。这里的“点子图”将“冷冰冰”的算法与“神秘秘”的算理透彻地揭示出来，让学生清楚“法中见理，理中得法，原本不可剥离”。

三、借助已有的生活经验和认知基础，沟通算理与算法的关系

数学知识是紧密相连，环环相扣的，任何一个新知识都是在所谓旧知识基础上衍生，发展而来的，所以当学生动用已有的认知基础对新知进行探索、解释时，也就渐渐明白了这些方法后面的道理，从而达到算理与算法的融合。

如在《小数加减法》中，当数位不同时，如何进行正确计算是小数加减法的重点和难点，而为了讲解清楚“小数点对齐”的道理，我借助学生熟悉的“元、角分”知识创设了购物实例：买两样物品，一个是2.8元，一个是3.15元，求一共要花多少钱？学生以前做过很多加减法题，包括一位小数的加减法都是把末位的两个数字对齐，但在这里，学生都有购物经验，对这一知识背景很熟悉，他们就会发现如果把末位的8和5对齐，就是用8角加5分，单位不同，不能直接相加，所以肯定是不对的，只能是角与角、元与元相加，即2元与3元相加，8角与1角相加。学生这些朴素的解释其实就蕴含了他们心目中的“算理”即：相同数位要对齐，相同的计数单位才能相加减。最后结合竖式让学生思考：“为什么要把小数点对齐？”学生很快就会明白小数点对齐了，相同的数位就对齐了，而相同数位对齐就意味着它们的计数单位是一样的，所以小数加减法其实就是“相同的计数单位的个数直接相加减”这个“道理”。

在这个过程中，教师没有急于进行方法上的探究，而是放手让学生借助已有的认知基础和生活经验，阐述自己的计算过程，并通过师生之间、生生之间的交流，教师的点拨，让学生感悟竖式计算的算法，并理解算法背后的算理。

再如，教学“0除以任何一个不是0的数，结果得0”这一知识点时，由于学生已理解了除法的含义，积累了相关0的乘法的知识，因此我在教学中就直接出示0÷5这个算式问学生：你能算吗？

学生立即就说出等于0，这时的回答可能是出于一种直觉。我继续追问：你是怎么想的？学生的回答中就阐释了得出这一结果的“道理”

生1：0÷5肯定是0。比如：盘子里一个苹果也没有，平均分给5个人，每人分到0个苹果，就是0÷4=0。

生2：0÷5尽管要把一些东西平均分成5份，但是一个东西也没有，怎么分呢？当然就只能是0了。

生3：我们可以想乘法做除法，想（ ）×5=0，0乘5等于0，所以0÷5=0。

……

接着又讨论了0不可以做除数……

这里没有具体的情境，也没有直观的模型，而是直接出示算式，让学生凭借已有的生活经验，举出一个个例子来解释，理解算理、获得答案，这样同样激活了其他同学的思维，使他们纷纷从已有的经验内提取相关知识来寻找解决问题的办法，让不同思维水平的学生用不同的思维方式解决问题。这里讨论时间充足，不受情景的约束，算理与算法都得到解决。

总之，计算教学中理解算理与掌握算法不可偏颇，它们是一个有机整体，形式上可以分但实质上是不可以分的，重算法也要明算理，我们必须处理好算理和算法的关系，引导学生循“理”入“法”，以“理”驭“法”，实现算理与算法的融会贯通，让学生真正自由地行走在算理与算法之间。