范德蒙行列式在多项式证明中的应用

李群

摘 要： 行列式因其规律性和计算的技巧性一直是高等代数中的一个重点问题.范德蒙行列式是一种特殊形式的行列式.本文主要通过例题的形式探讨了范德蒙行列式在多项式证明中的应用.

关键词： 范德蒙行列式 多项式 应用

在高等代数中，有关多项式的证明是一个重点、难点问题，而线性方程组则是一个相对比较简单的问题.所以对于多项式中的某些问题，我们采用了转换的思想把它转换成线性方程组的情况，并且对该线性方程组的系数行列式进行变换，以便化成范德蒙行列式的形式，这样在证明中就能取得事半功倍的效果.

形如D = 1 1 1 … 1 a a a … a a a a … a … … … … …a a a … a a a a … a

的行列式被称为n级范德蒙（Vandermonde）行列式，其值是 （a -a ），可以看出范德蒙行列式的结果既明确又简洁.

下面通过两个例子看一下如何利用范德蒙行列式证明多项式中的问题.

例1：已知多项式g（x）=m +m x+…+m x ，证明：g（x）有n+1个互不相同的根，那么g（x）=0.

分析：要证g（x）=0，只需得到多项式g（x）中的系数全为0，换个角度就是构造一个以多项式g（x）的系数为未知量的齐次线性方程组，证明其只有零解.

证明：因为多项式g（x）有n+1个互不相同的根，不妨设为x ，x ，…，x ，则g（x ）=0，i=1，2，…，n+1，从而得如下齐次线性方程组：

m +m x +m x +…+m x =0m +m x +m x +…+m x =0 … …m +m x +m x +…+m x =0

把看成未知量，则它的系数行列式为范德蒙行列式，即

D= 1 x x … x 1 x x … x … … … … 1 x x … x = （x -x ）=0

再由克莱姆（Cramer）法则可知，这个方程组有零解，即m =m =Λ=m =0，从而g（x）=0.

例2：设（x ，y ），（x ，y ），…，（x ，y ）是平面上的n个点，它们/的横坐标是互不相同的，证明有且只有一个次数小于n的多项式能通过这n个点.

分析：对于这类题型首先设出一个次数小于n多项式，然后证明满足题目要求的多项式的系数存在且具有唯一性即可.

证明：设多项式g（z）=a +a z+…+a z +a z ，若多项式g（z）能通过这n个点，即g（x ）=y ，（1≤i≤n），从而可得如下线性方程组：

a +a x +…+a x +a x =y a +a x +…+a x +a x =y …a +a x +…+a x +a x =y

把a ，a ，…，a 看成未知量，则其系数行列式为范德蒙行列式，且

D= 1 x … x x 1 x … x x … … … … 1 x … x x = （x -x ）≠0

由克拉默法则，此线性方程组就有唯一的非零解，即多项式g（z）的系数是唯一确定的，所以有且只有一个多项式能通过该平面上的这个点.

范德蒙（Vandermonde）行列式是研究数学的一个重要的工具.把范德蒙行列式与多项式联系，更能体现不同方面数学知识的融会贯通.巧妙地运用范德蒙行列式能事半功倍地解决多项式的证明问题.

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安徽省教学研究项目（编号：2013jyxm139）；阜阳师范学院基层教学组织建设（优秀教研室建设）研究项目（编号：2013JCJS03）.