关于高中几种数学思想方法的教学

刘祖金

数学思想方法是一种数学意识，体现了数学的思维能力、知识转化能力、分析解决问题的能力，能够全面反映学生的综合素质.高中生在解题时常常会出现束手无策、目的不明确，思维混乱，思路不清晰的情况，在学习中不懂得掌握知识点、知识网络，不会融会贯通、举一反三等.其主要原因还是在学习中没有形成必要的数学思想方法.

高中阶段常见的有数形结合、分类讨论、化归与转化、函数和方程、建模等思想方法.正确运用这些思想方法，对提高学生的解题能力起非常关键的作用.因此，在教学中应重视培养学生的数学思想方法.我现结合数学教学实践探讨其中所蕴含的数学思想方法.

一、数形结合的思想方法

数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形相结合、抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”“以数辅形”两个方面，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象数学问题，可收到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.数形结合的重点是“以形助数”，但以数解形在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视.

数形结合常用于函数与函数的图像、解不等式、曲线与方程，参数本身的几何意义，代数式的结构特点，求函数的值域、向量问题等常常可以用数形结合思想寻找解题思路.

（一）由数化形、以形为手段，以数为目的，通过建立坐标系由条件绘制相应图形，使图形充分反映出它们相应的数量关系，从而解决问题.

（二）由形化数，借助于图形，通过观察揭示出图形中蕴含的数量关系，反映出事物本质特征.

（三）数形转换，“数”和“形”可以互相转换，化抽象为直观，化直观为精确，化难为易，从而使问题得到解决.

评注：数形结合思想是一种重要的数学思想方法，在解选择题、填空题中应用广泛，在解答题中一般可用数形结合法寻找解题思路，解答过程如用数形结合，叙述要严谨，防止只画个图形而解题过程不规范现象的发生.著名数学家华罗庚对“数形结合”的重要性，精辟地概括为“数无形，少直观；形无数，难入微”，形象地道出了数形结合的特征和重要性.

二、分类讨论的思想方法

在解某些数学题时，它的结果可能不唯一，对可能的情况要一一加以分类讨论.它是一种重要的数学思想方法，在高考中占有十分重要的地位，分类讨论试题具有明显的逻辑性、探索性的特点，试题难度属中高档.

（一）引起分类讨论的原因大致可分为如下几种：

1.涉及的数学概念是分类定义的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

2.运用的定理、公式或运算性质、法则是分类给出的，如等比数列的求和.

3.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形的类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等.

4.数学问题中含有参数变量，如参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.

5.对较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决.

（二）分类的原则：分类的标准要统一；层次要分明，分类要做到不重不漏；能不分类的要尽量回避，或尽量推迟，决不无原则地讨论.

（三）分类方法：①明确讨论对象；②确定分类标准；③逐步详细讨论；④归纳小结.

四、转化与化归思想

转化与化归思想是研究问题最基本、最重要的思想方法，它无处不在.比如：处理几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等.

（一）转化与化归的原则：（1）目标简单化原则；（2）具体化原则；（3）低层次原则；（4）正难则反原则.

（二）转化与化归常用的方法：（1）直接转化法；（2）换元法；（3）数形结合法；（4）构造法型；（5）坐标法为工具；（6）类比法；（7）特殊化方法；（8）等价问题总之，数学思想方法较之数学基础知识具有更高的层次，是对数学规律的理性认识，是数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁，是打开数学宫殿的钥匙，是数学的灵魂.重视数学思想方法的教学和运用，突出数学思想方法，是提高解题能力的重要措施.让学生灵活应用所学的数学思想方法，以培养其分析问题和解决问题的能力；课堂教学中不断总结、提炼、潜移默化才能使学生养成良好的思维习惯，对数学思想的运用才能做到得心应手.