兵马未动，粮草先行

孙卫星　尹伟伟

【摘要】高中数学中关于渐近线的知识，学生学习时难以体会曲线渐进的方向与方程。帮助学生领会“渐近线”的内涵并确定渐近线方程，同时画出方程的草图。对迅速、准确认识某些函数的形状、位置、大小必会有极大的帮助。同时能培养了学生的创新意识，以及举一反三的能力。

【关键词】确定渐近线 数形结合

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0029-02

“无限接近，却永不相交”，渐近线总让人觉得“高冷”，又像哲理一样令人印象深刻，其实最早的时候数学和哲学是不分的。我觉得这才是数学的美，学习数学的一种乐趣！

高中数学的许多方程图象和曲线都与渐近线密切相关，由于学生在学习过程中不能深刻领会“渐近线”的内涵，，忽视“渐近线”的现象频频发生，导致解题过程中出现偏差。在涉及渐近线的教学过程中，教师要能培养学生的作图意识，要经常性地引导学生根据方程的渐近线来画出方程的草图，对迅速找到解决问题的入口，为有效地解决问题提供帮助。可以说渐近线是图象和曲线的先行者，在图象中渐近线的定位作用举足轻重。所以，“兵马未动，粮草先行”，为了作出含有渐近线的比较精确的图像，必须深度研究函数的性质，求出它的渐近线方程就显得尤为重要.下面举例阐述图象的渐近线的简单确定方法，并对问题的处理予以剖析。

一、高中数学几种常见有显著渐近线的情况

学习渐近线的难点在于学生难以体会曲线渐进的方向与方式，在学习过程中如果能领会“渐近线”的内涵， 对迅速、准确认识某些函数的形状、位置、大小必会有极大的帮助，真正体会“一叶而知秋”的感觉，从而获得学习数学的乐趣。帮助他们整理几种常见有显著渐近线的情况，有助于他们学习总结。

常见的有指数函数的渐近线是x轴；对数函数的渐近线是y轴；对勾函数的渐近线是x轴、y轴以及y=x；当a<0时幂函数y=xa的渐近线是x轴、y轴；圆锥曲线双曲线渐近线公式 的渐近线是等情况。

例1：反比例函数变式的渐近线方程是。

分析：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围。

如图所示：故实数k的取值范围是。

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，其中渐近线能否先作出是解题的关键。

二、含有渐近线的分式函数型、超越函数型

高中阶段很多函数综合性问题都会考查到数形结合思想，在学生中流传着这样一句话“若要题目不难搞，准确作图不可少”，如果能结合渐近线作出比较精确的函数图像，特别是对稍微复杂的函数，领会它的各种性质，则在处理综合性的问题时才能得心应手，游刃有余.比如方程的有解问题等。渐近线像人的脊柱那样对函数的图像进行了定位，可谓举足轻重.有了它，定义域、值域、单调性才能一目了然。

例3：（分式函数型）确定函数的渐近线的方程。

分析：当x趋向于无穷时，趋向于0，图像就接近于y=ax ；而当x趋向于0时，ax也趋向于0，而趋向于无穷，即y的值趋向于无穷，所以y=ax和y轴是的两条渐近线

如图1（a>0，b>0）和图2（a>0，b<0） 。

容易错误的认为。正确的做法应该先确定渐近线x=1，在根据符号法则确定正负作出示意图，找到正确的单调减区间为和（1，+∞）。通过以上分析，特别是学习过导数之后，再来处理有渐近线的分式型函数时，先作函数的草图，能直观而有效地解决问题。

本文阐述图象的渐近线的简单确定方法，及渐近线对函数的单调性、值域的影响。老师要能经常性地培养学生的作图意识，要经常性地引导学生根据函数的各种性质特别是函数的渐近线来画出函数的草图，对迅速找到解决问题的入口，对培养学生形成解决函数问题的大局观、层次感和养成良好的思维习惯大有裨益。