饱和非饱和渗流基本微分方程的推导

□杨 昱（郑州市水利建筑勘测设计院）

0 引言

水在岩土体中沿着空隙流动的现象称之为渗流，按照水在岩土体中的流动方式，渗流可以分为饱和流与非饱和流两种类型。饱和渗流是指，水在岩土体流动过程中，任意一点的水头及渗透系数不随时间的改变。非饱和渗流是指，水在岩土体流动过程中，任意一点的运动要素随时间而改变[1]。岩土体饱和-非饱和渗流的基本微分方程是解决岩土体渗流问题的理论基础及计算依据。

达西定律是岩土体渗流理论的基础，质量守恒定律及能量守能定律是一切流体运动普遍遵循的基本定律。文章首先从理论上推导了达西定律，然后根据质量守恒定律推导了连续性方程，以二者为基础推导岩土体饱和渗流的基本微分方程，根据能量守恒定律推导了非饱和渗流的基本微分方程。

1 达西定律

达西定律是渗流理论的基本定律，最早通过实验证实，它也可以从多孔介质中层流运动所遇到的阻力关系推导出来[2]。图1为沿流线方向s 取得单元微分体,长为ds,断面积为dA;作用在单元柱体上的力有:两端的孔隙水压力,孔隙水流的自重及水流受到颗粒孔隙道的摩阻力F。

图1 渗透水体的受力图

沿土柱方向列出渗流的受力方程(略去水流的惯性力)：

将其代入（1）式，有：

根据斯托克斯阻力公式，单个土体颗粒所受阻力为：

式中，d 为土体颗粒直径，v'为颗粒周围沿渗流方向的局部平均流速；μ；λ 为一个系数，取决于临近颗粒的影响，对于无限水体中的圆球，λ=3π。

对于总数为N 的土颗粒，引用一个球体系数β，则总阻力为：

将（4）式代入（1）并考虑到断面上的平均流速v=nv│及渗流坡降，则有：

该式即为达西定律的理论表达式。

一维饱和渗流，有：

三维饱和渗流况，有：

在直角坐标系中，以vx,vy,vz表示沿三个坐标轴方向的渗透速度分量，则有：

渗透速度矢量v 为：

非饱和渗流也遵循达西定律[3]。渗透系数K 是土壤含水率θ 和饱和度S 的函数K（θ）,K（S）。

在非饱和岩土体中，基质吸力表达式：

总水头表达式：

将公式（11），(12)代入达西定律，得：

当岩土体只在x 一个方向产生非饱和渗流时，由式（13）可得：

由式（14）得：

2 连续性方程

如图2所示，在岩土体中水分流动的空间内建立一微小的平行六面体，边长分别为△x,△y,△z，与相应的坐标轴平行，六面体中心坐标（x，y，z）。

沿坐标轴方向的速度分量和液体密度分别用νx、νy、νz和ρ 来表示。

图2 直角坐标系中的单元体图

在△t 时间内，流入六面体左边界面abcd 的液体质量为：

其中，Qx表示沿x 轴方向进入六面体的流量。而从六面体右边界a'b'c'd'流出的液体质量为：

沿x 轴方向流入和流出六面体的质量差二者之差：

同理，沿y 轴和z 轴方向流入和流出六面体的质量差分别为：

在△t 时间内流入和流出六面体单元的总的质量差为：

在△t 时间内，单元体内液体质量的变化量为：

根据质量守恒定律，它应等于单元体内液体质量随时间的变化量，即：

式（24）即为渗流的连续性方程。

对于不可压缩的均质液体，密度为常数，如果含水层骨架不被压缩，n 和△x、△y、△z 都保持不变，则有：

式（25）即为稳定渗流情况下的连续性方程。

3 Jacob 假定

为计算式（24）的右端项，1950年JacobBear 提出了著名的Jacob 假定[4]。假设岩土体只在垂直方向上有压缩（或膨胀），△x、△y 视为常量，只有水的密度ρ、孔隙度n 和单元体高度△z 三个量随压力而变化，式（24）的右端项可以改写为：

式（26）右端三项分别代表单元体骨架颗粒和孔隙体积以及流体的密度的改变速率，前两项可表示为颗粒之间的有效应力，第三项可表示为流体压力；就是说有效应力σ'作用于单元体，孔隙水压力p 压缩水体。

在多孔介质压缩过程中，固体颗粒体积的压缩可以略不计，即（1-n）νb=常数，则有：

若含水层侧向受限制，只在垂直方向上压缩，即只有单元体垂直方向上长度△z 的变化，有

得到：

所以：

所以

将（33）、（34）和（36）带入（26）得：

于是连续性方程（24）可化为：

将式（39）代入上式得：

由于水的压缩系数很小1-βp≈1，，从而有：

将式（42）代入式（38），并展开式（38）左端，得：

上式中，左端后一项比前一项要小得多，可以略去，故上式变为：

略去相同项得：

上式表示水流在运动过程中渗透速度与水头的关系。

4 基本微分方程

根据达西定律，x、y、z 方向的渗流速度可表示为：

将式（46）代入式（45），并由μs=ρg（α+nβ)得：

考虑抽水、注水、降雨及蒸发等情况，在基本微分方程中加入源汇项W，可得完整形式的饱和渗流微分方程[5]：

式中，W 称为源汇项，为位置和时间的函数。

对于不考虑源汇项的均质各向同性的稳定流，有：

上式即为均质各向同性稳定流的Laplace 方程。

根据能量守恒定律[6]，在连续性方程（24）中，只要把等式右边的孔隙度n 换成含水率θ，即可得到非饱和渗流的基本微分方程。假定非饱和介质不变形，△x△y△z 为微量，在方程两端相同，可以约去；且在非饱和流中，水的密度ρ 变化很小，可看作常量，从而有：

将达西定律代入可得：

式（52）即为非饱和流的基本微分方程，称为Richards 方程。

5 结论

针对饱和-非饱和渗流基本微分方程，以达西定律为基础，从理论上进行了较为严密的，系统的推导，主要推导了以下几个方程：

渗流的连续性方程：

饱和流水头与速度关系：

饱和渗流微分方程：

不考虑源汇项的稳定饱和渗流微分方程：

不考虑源汇项的均质各向同性的稳定饱和渗流微分方程：

非饱和流的基本微分方程：

[1]曾铃.降雨条件下边坡渗流特性及稳定性研究[D].长沙理工大学,2011.

[2]苑宝军,张玉文,姜袁.达西定律推导中的启示在实际工程中的应用[J].常州工学院学报,2005,05:11-13+30.

[3]冉兴龙,曹海东,夏斌,郭春华.Jacob 假定下含水层的储水率及其地面沉降机理意义[J].水动力学研究与进展(A 辑),2005,03:393-399.

[4]杨永恒.渗流场与应力场耦合分析及其在尾矿坝工程中的应用[D].西安理工大学,2006.