可积耦合方程的代数结构

罗　琳,　马志勇,　谢晓强(上海第二工业大学理学院,上海201209)

可积耦合方程的代数结构

罗琳,马志勇,谢晓强
(上海第二工业大学理学院,上海201209)

摘要:主要根据李代数半直和思想,构造非线性数学物理方程的可积耦合系统(包括连续和离散2种情形),并研究这些连续和离散的可积耦合方程的代数结构,即耦合方程的元素组所对应的李积元素组也满足耦合的零曲率方程。关键词:可积耦合方程;零曲率表示;代数结构

0　引言

在孤立子理论中,可积耦合系统日益受到关注。常见的构造可积耦合系统的方法有色散法、李代数半直和法、Loop代数法。人们可以利用这些方法得到方程的可积耦合系统[1-4],进而研究耦合系统的可积性质,并求解该耦合方程。而在可积系统中方程的对称是一个非常重要的方面,如果方程本身的性质如Lax对等不明确,那么最有效的求解该方程的方法是考虑它们的对称,而且对称包含了很多好的数学结构[5-11]。本文主要讨论和综述连续和离散的可积耦合系统的代数结构。

1　连续的可积耦合方程

设G表示矩阵loop代数,设矩阵谱问题是:

式中:u=u(x,t)=[u1(x,t)u2(x,t)···uq(x,t)]T, x,t∈R是势函数;U,V∈G是同阶方阵也被称作Lax对;λ∈C是谱参数;f(λ)∈C∝(C)。则根据零曲率方程

可确定一个连续的可积方程

这就说明元素组(U,V,K)满足零曲率方程

式中,U0(u)[K]表示 Gateaux导数,U0(u)[K]=U(u+εK)|ε=0。

为了生成连续方程式(3)的可积耦合系统,我们引进李代数的半直和思想,选取另一个loop代数Gc,使得

不妨选择谱问题式(1)的耦合谱问题为:

这里矩阵Uc=Uc(v,λ),V=Vc(u,v,λ)与U,V同阶,则相应的零曲率方程

决定了式(3)的可积耦合方程

这说明耦合的元素组(¯U,¯V,¯K)满足耦合的零曲率方程

我们将式(9)和(11)都称为原连续方程式(3)的可积耦合方程。

2　离散的可积耦合方程

对于离散方程我们先定义位移算子E,设Ef(n)=f(n+1),E−1f(n)=f(n−1),则Emf(n)=f(m)(n)=f(n+m),n,m∈Z,且差分算子E−E−1的逆算子定义为(E−E−1)−1f(n)≜

设离散谱问题为:

式中,u=u(n,t)=[u1(n,t)u2(n,t)···uq(n,t)]T, n∈Z。根据离散的零曲率方程

谱问题式(12)也可以确定一个离散的可积方程

这就说明元素组(U,V,K)满足离散零曲率方程:

同样,为了生成离散方程式(14)的可积耦合系统,我们可以仿照连续可积耦合方程式(9)的方法引进李代数的半直和,选取另一个loop代数Gc,使得¯G=G⊕Gc。那么我们也可以选择谱问题式(12)的耦合谱问题为:

这里矩阵Uc=Uc(v,λ),V=Vc(u,v,λ)与U,V同阶。则相应于谱问题式(12)的零曲率方程

决定了离散方程式(14)的可积耦合系统

这就说明耦合的元素组(¯U,¯V,¯K)满足耦合的离散零曲率方程

显然上述式(20)等价于下列方程组

我们将式(19)和(21)都称为离散方程式(14)的可积耦合方程。

3　可积耦合方程的代数结构

为了叙述方便,我们先给出一些数学记号。设F表示全体复值函数P=P(x,t,u,v)或者P= P(n,t,u,v)的全体,令Fr={[P1···Pr]T|Pi∈F}。用ʊr表示所有r×r阶矩阵的线性微积分算子或者差分算子的全体,即

或者

定义

令向量场

其中K,S,L∈Fq,且Kc,Sc,Lc∈Fqc。则我们可以定义向量场 ¯K,¯S∈Fq+qc的交换关系为:

因此,这个积的关系式(22)使得向量场 ¯K,¯S,¯L在Fq+qc中形成一个李代数结构。

证明将式(22)～(24)代入式(21),直接计算即得。

4　结论

如果元素组(V,K,f),(W,S,g)∈M(U)满足原方程的零曲率方程式(2)或(13),则耦合的元素组(¯V,¯K,f),(¯W,¯S,g)∈M(¯U)所构成的李积元素([[¯V,¯W]],[¯K,¯S],[f,g])∈M(¯U)也分别满足耦合零曲率方程式(10)或(20),即耦合方程的元素组所对应的李积元素组也满足耦合的零曲率方程。

参考文献:

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[11]LUO L,FAN E G.The algebraic structure of discrete zero curvature equations associated with integrable couplings and application to enlarged Volterra systems[J].Science in China Series A:Mathematics,2009,52(1):147-159.

中图分类号:O29

文献标志码:A

文章编号:1001-4543(2015)02-0152-04

收稿日期:2015-02-28

通讯作者:罗琳(1968–),女,湖北人,教授,博士,主要研究方向为可积系统。电子邮箱luolin@sspu.edu.cn。

基金项目:国家自然科学基金(No.11371244)、上海市教委基金(No.14ZZ166)、上海第二工业大学应用重点学科建设项目(No.XXKZD1304)资助

The Algebraic Structure of Integrable Coupling Equations

LUO Lin,MA Zhi-yong,XIE Xiao-qiang
(School of Sciences,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

Abstract:According to the theory of the semi direct sums of Lie algebras,the integrable coupling systems are constructed associated with nonlinear mathematical physics equations(continue and discrete).The algebraic structures is then established for such integrable coupling equations,that is,the elements of the couplings satisfy the coupling zero curvature representations in the sense of Lie product.

Keywords:integrable coupling equations;zero curvature representations;algebraic structures