一类非线性竞争系统的Turing分岔

王瑞平(上海第二工业大学理学院,上海201209)

一类非线性竞争系统的Turing分岔

王瑞平
(上海第二工业大学理学院,上海201209)

摘要:为了说明地区间迁移的重要性及其带来的影响,首先在竞争Lotka-Volterra系统的基础上建立迁移竞争模型。然后借助于动力学稳定性理论,研究了迁移对系统的每个平衡态的局部动力学稳定性的影响,得出两地间的迁移在四维竞争Lotka-Volterra系统中可以引起的Turing分岔的结论,并给出该系统在共存平衡点附近经历Turing分岔的临界条件。最后结合现实分析,得出结论:迁移是非常重要而不应该被忽视的因子,同时迁移在改变边界平衡态稳定性中的作用也是比较有限的。

关键词:Turing分岔;Lotka-Volterra系统;迁移

0　引言

19世纪20年代,Lotka和Volterra为了研究生物群体的发展演变分别独立地提出了Lotka-Volterra系统。Zeeman等[1]把这类系统分为3类:竞争系统、合作系统以及捕食-食饵系统。其中,竞争的Lotka-Volterra系统竟是Smale竞争系统的最简单形式。而Smale竞争系统是具有普适性的,因此竞争Lotka-Volterra系统就成了许多学科研究的热点之一[2-3]。

另一方面,随着全球经济的一体化,使得研究具有迁移的竞争Lotka-Volterra系统成为必然,并得出交叉迁移在二维竞争Lotka-Volterra系统中只可能引起静态分岔[4-6],而在三维竞争Lotka-Volterra系统中只可能引起Hopf分岔[7-8]的结论。遗憾的是,以前的研究结果都不能说明区域迁移能引起复杂的动力学变化,这有点不合实际。本文通过研究具有迁移的四维竞争Lotka-Volterra系统的Turing分岔发现:在两地间的竞争Lotka-Volterra模型中,交叉迁移不仅不能把不稳定的平衡点转化为稳定的平衡点,同时也不能改变一些边界平衡点的稳定性。此外,给出这类模型中的迁移使共存的平衡点失去稳定性而发生Turing分岔的临界条件,从而使得迁移引起复杂动力学成为一种可能。这一发现既说明了迁移的重要性,也说明了迁移对边界平衡态的局限性,同时还在很大程度上缩短了区域迁移引起的动力学变化中理论和现实的距离。

1　建立模型

为了说明问题,先从最简单的生存在两地的四种群的竞争Lotka-Volterra模型开始研究。这类生存在两地的四种群的竞争模型可以表述如下:

式中:ui(t,j)表示t时刻在第j(j=1,2)地区第i(i=1,2,3,4)种群的总体个数,可以限定ui(t,j)≥ 0;常数ri表示第i种群的自身增长率,假设ri＞0,即第i种群在无其余种群竞争的情况下是自身增长型的;表示第k种群对第i种群增长率的影响;dik≥0(i,k=1,2,3,4且i 6=k)表示迁移系数;密度函数ρi(ui(t,j))(i=1,2,3,4; j=1,2)为在第j区域关于时间t的ui(t,j)的连续可微的正函数且随ui(t,j)是递增的。式(1)表达的是两地间的迁移速度和竞争者的密度成正比。因为实际生活中大部分物种都具有这种性质,所以式(1)是现实的合理描述。

如果dik=0(i,k=1,2,3,4;i 6=k),即两地间不存在迁移时,式(1)就退化为两个独立的四维竞争Lotka-Volttera系统。对每个四维竞争Lotka-Volttera系统,都存在一个不可分的四维闭不变集Λ,且Λ吸引除原点外系统的所有的解。此时,式(1)的动力学行为可以呈现复杂的混沌动力学行为[2-3]。一方面,对于无迁移时呈现简单动力学的式(1),在两区域具有交叉迁移后,它能呈现复杂动力学;另一方面,对于无迁移时呈现复杂动力学的式(1),在具有区域交叉迁移后,它可能呈现出简单的动力学。这正好解释了迁移能引起复杂变化的现象。

但是,当dik＞0(i,k=1,2,3,4;i 6=k)时,在式(1)中就会发生Turing分岔,而且已经证明所研究的Turing分岔都是由于迁移使共存的平衡点失去稳定性引起的[6]。接下来,先研究式(1)的所有平衡点的基本动力学,然后研究迁移引起的各类分岔,最后再研究迁移引起的复杂变化。

当dik=0(i,k=1,2,3,4;i 6=k)时,若式(1)有正平衡点Ec(u01,u02,u03,u04,u01,u02,u03,u04),显而易见,当dik＞0(i,k=1,2,3,4;i 6=k)时,它仍然是式(1)的正平衡点,而且可以通过可逆的尺度变换把此平衡点移到E0(1,1,1,1,1,1,1,1)。变换后的式(1)满足:

而且它不改变式(1)的拓扑性质。假设式(1)还满足:

对所有di≥0(i=1,2),式(1)都存在的边界平衡点有以下几类:① 原点O(0,0,0,0,0,0,0,0);② 只有1个区域的1个种群存活,其余的种群灭亡,如 E ‡,0,0,0,0,0,0,0·;③ 只有第i种群在两地存活,其余种群灭绝的平衡点为Ei(i=1,2,3,4); ④ 只有第i和第k种群在两地存活,其余种群灭绝的平衡点为Eik(1≤i＜k≤4);⑤ 只有第i,第k和第l种群在两地存活,另一种群在两地都是灭绝的平衡点为Eikl(1≤i＜k＜l≤4);⑥ 当式(2)成立时,共存平衡点E=E0(1,1,1,1,1,1,1,1)。

2　主要结果

定理1对于式(1)有如下结论:① 原点O(0, 0,0,0,0,0,0,0)是一个源;② 平衡点Ei(i=1,2, 3,4)总是鞍点的,迁移不能改变Ei(i=1,2,3,4)的不稳定性,也不能改变其稳定性;③ 迁移不能改变Eik(1≤i＜k≤4)和Eikl(1≤i＜k＜l≤4)的不稳定性,但是能使其失去稳定性;④ 迁移不能改变E的不稳定性。

从定理1可以看到,交叉迁移在式(1)中不能改变所有平衡点的不稳定性,同时也不能改变部分平衡点的稳定性。即交叉迁移的影响是有限的。

定理2如果当式(1)没有迁移时,平衡点Eik(1≤ i＜k≤4)是稳定的,那么式(1)在该平衡点附近经历Turing分岔的充分必要条件是: det(T1)＜0,det(T1)=0是式(1)经历Turing分岔的临界条件。这里

ei,ek分别为平衡点Eik(1≤i＜k≤4)对应的第i和第k种群的总数,即对应平衡点的坐标;ρ0k(ek)表示函数ρk(uk)在ek处的导数。

定理3如果当式(1)没有迁移时,平衡点E是稳定的充分必要条件是以下4个不等式成立:

式中:矩阵A=[aij]4×4;tr(A)=a11+a22+a33+a44是矩阵A的迹;Mij(A)代表矩阵A的第i行、j行与第i列、j列交叉得到的2级子矩阵的行列式;Mijk(A)代表矩阵A的第i行、j行、k行与第i列、j列、k列交叉得到的3子矩阵的行列式; det(A)表示矩阵A的行列式。

定理4当式(1)没有迁移时,平衡点E是稳定的,即式(4)成立,那么式(1)经历Turing分岔的充分必要条件是下式的其中1个不等式成立:

式中:

定理2的结论说明在边界平衡点Eik(1≤i＜k≤4)附近只能经历静态分岔。这既说明了迁移的有限性,也说明了迁移对这类平衡点造成的后果是无法预料的,从而解释了现实中一些临界崩溃的产业可能因为一些经济交流而发生大的转机。定理3的结论说明在共存平衡点E没有交叉迁移的条件下是稳定的充分必要条件,其中式(4)的第1个不等式永远成立,所以如果运用定理3时只需验证式(4)的后面3个不等式。定理4的结论说明在式(2)成立的条件下,式(1)在共存平衡点E附近经历Turing分岔的充分必要条件是式(5)中的1个不等式成立。从这个结论可以得知:只是一味地提高交流速度并不能引起Turing分岔,只有当经济交流适中时才能出现预期的结果。

3　结论

本文研究了迁移在一类竞争模型中引起的平衡点的性态变换。结果表明,迁移在此类模型中对边界平衡态的影响是有限的,但是对共存平衡态的影响是不容忽视的、甚至是复杂的。这对我们认识现实生活中的迁移是非常有帮助的。

参考文献:

[1]ZEEMAN E C,ZEEMAN M L.An n-dimensional competitive Lotka-Volterrasystem is genericallydeterminedby the edges of its carrying simplex[J].Nonlinearity,2002,15(3):2019-2032.

[2]WANG R P,XIAO D M.Bifurcations and chaotic dynamics in a 4-dimensional competitive Lotka-Volterra system [J].Nonlinear Dynamics,2010,59(3):411-422.

[3]王瑞平,丁剑平.一类四维竞争系统的动力学[J].河南大学学报,2014,44(2):137-140.

[4]ALY S.Competition in patchy space with cross-diffusion and toxic substances[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2009,10(1):185-190.

[5]ALY S,FARKAS M.Competition in patchy environment with cross diffusion[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2004,5(4):589-595.

[6]王瑞平.迁移在一类二种群竞争模型中引起的分岔[J].河南大学学报,2013,43(3):137-140.

[7]王瑞平.两地间的三维竞争Lotka-Volterra系统中的分岔[J].上海交通大学学报,2010,44(6):859-862.

[8]WANG R P.Competition in a patchy environment with cross-diffusion in a 3-dimensional Lotka-Volterra system [J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2010, 11(4):2726-2730.

中图分类号:O175.13

文献标志码:A

文章编号:1001-4543(2015)02-0148-04

收稿日期:2015-02-28

通讯作者:王瑞平(1978–),女,河南省濮阳市人,讲师,博士,主要研究方向为微分方程和动力系统。电子邮箱rpwang@sspu.edu.cn。

基金项目:上海第二工业大学校基金(No.EGD14XQD14)、上海高校青年教师资助计划项目(No.ZZegd14018)、上海第二工业大学重点学科“应用数学”(No.XXKZD1304)资助

Turing Bifurcation in a Kind of Nonlinear Competitive System

WANG Rui-ping
(School of Sciences,Shanghai Second Polytechnic University,Shanghai 201209,P.R.China)

Abstract:In order to explain importance and effect of migration,competitive model with migration based on competitive Lotka-Volterra system is built.Then by mean of theorem of dynamic system,it studies effects that the migration brings about to local stabilities of all equilibrium.And it proves that Turing-bifurcations can happen in competitive Lotka-Volterra system with migration.Meanwhile, it establishes critical values of the bifurcation parameter at which the system undergoes Turing-bifurcation.Finally,it combines theory with realistic analysis.The conclusion illustrates the migration response is very important factor that should not be ignored and the effect is limited to boundary equilibrium.

Keywords:Turing-bifurcation;Lotka-Voltarra system;migration