刍议一个有趣的力学实验——神奇的“链条喷泉”

夏 艳 杨绍兰 张飞翔

（1.无锡市辅仁高级中学，江苏 无锡 214112；2.无锡市第一中学，江苏 无锡 214031）

链条是最为普通、古老且广为应用的技术之一，很多人可能认为物理学家已经完全明白链条的所有规律.然而事实并非如此，近期BBC的一段节目就展示了一种奇异的“链条喷泉”现象.

图1

视频大概内容是这样的：把一条小钢珠串成的足够长的珠链堆放在烧杯中并静置于某高处，用手拿起链子一端使它自由垂落，由于其重力作用整个杯中的链条会陆续被拖出来“流”向地面并越来越快.这没什么新奇的，最让人意想不到的是，当速度大到一定程度时，杯中的链条会从杯中先向上凌空跃起、喷涌而出，就像喷泉喷水一样在空中形成一条让人惊叹的“链条喷泉”，如图1所示.

简单来讲，从能量转化的角度，让链条从杯中“流”出并落到地上的能量来自于此过程中链条减少的重力势能，这一点与流体的“虹吸”现象有点类似.但最让人惊讶和想不通的是：珠链在下落前为什么会先向上凌空“跃”起、喷涌而出，形成让人惊叹的“链条喷泉”？

通过理论分析和实验研究，下面笔者就试着来探究一下链条这奇妙现象背后的奥秘，希望能抛砖引玉.

1 让链条向上“跳”起来的力是链条内的张力吗？

绝大多数人都会认为，是高速运动的链条内的张力把它拉上去、形成“链条喷泉”的.真的是这样吗？

我们从最简单的模型开始分析，将“链条喷泉”的运动过程抽象为这样一个模型：链条单位长度的质量为m0、堆放在离地高度为h1的桌面上，运动链条达到稳态时各部分的速率均为v，竖直向上跳起的最大高度为h2，“喷泉”顶部弯曲的弧线视为圆周运动一部分，整个运动轨迹如图2所示.

图2

图3

令紧靠桌面端链条的张力为TT，紧靠地面端链条的张力为TF，顶部转弯部分链条内的张力为TC.在运动达到稳态时，链条各处速度为v.将悬浮在空中的“链条喷泉”顶端部分单独分离出来，将其看成是一个半径为r的半圆形，如图3所示.

链条顶端做圆周运动，每一段链条的合力均指向圆心.若将半圆链条上每一点指向圆心的合力都沿水平和竖直方向进行分解，根据对称性，水平方向的分力都抵消，水平方向的合力Fx为0；将竖直方向的分力进行积分，得竖直方向的合力Fy为

由图3，提供圆弧段链条的竖直方向的合力为2TC，则有2TC＝Fy＝2m0v2，得

此式表明，顶部转弯处链条张力与其速率的平方成正比，与半径r无关.可知沿其自身“流动”的链条就能以任意锐角转弯从而形成任意形状的轨迹，并非只能竖直地向上离开杯子.另外，TC＝m0v2，与r无关，这也意味着，当除张力外没有其他力时，沿自身“流动”的链条可以沿任意轨迹达到稳定状态.这个结论最早可以追溯到19世纪中期对运动绳链稳定构型的研究，在Routh.EJ所著的刚体动力学教材中第12章柔性体的运动（Motion of a flexible body）中绳链的运动（Motion of a string）这一节里就有详细的推导，在此不再赘述.

达到稳态时，链条各部分的运动速率均为v，对桌面以上的链条受力平衡，则有

这个过程中，对紧靠桌面处的链条来讲，在极短的时间dt内，有段质量为m0vdt的链条被从桌面上“拉拽”起来并获得m0v2dt的动量.如果假设这个动量是由紧靠桌面处的链条内的张力TT作用了dt时间产生的效果，由冲量定理则有TTdt＝m0v2dt，得TT＝m0v2.与式（2）联立可得h2＝0，即不会出现向上悬空的“链条喷泉”.

类似地，对从最顶端到地面这一段的链条，由受力平衡，有

由上述分析可知，紧靠桌面处链条的张力只是刚刚能够把杯中的链条拉动并加速到速度v，如果没有别的力来帮忙的话，链条只会贴着杯壁以速率v往下流，而不会向上悬空“跳”起.也就是说，只在链条内部张力的作用下，链条是不会从杯子里先悬空向上“跳”起，像喷泉喷水一样形成“链条喷泉”.

2 到底是什么力让链条“跳”起来？

既然紧靠桌面的链条中的张力只是能够把杯中的链条拉动并加速到速度v，那到底是什么其他力来帮忙让链条先向上“跳”起来形成“链条喷泉”的呢？

由实验确实存在“链条喷泉”，即h2＞0，由式（2）则有，TT＝m0v2－m0gh2＜m0v2，即仅仅靠桌面处链条内的张力TT不足以提供链条被拉动并向上跳起的冲量，那另外一部分的力从哪来呢？唯一的可能就是桌面上托盘底部给链条的弹力（或还未动的链条堆给链条的弹力）.通过实验也可以很好地印证这一点，将长珠链摆放在水平桌面上，拉起链条一端让其从桌子右端垂落，珠链沿水平桌面下落前也会被先向前甩出去、形成“链条喷泉”，如图4所示.由实验视频截图可看出，在运动过程中，链条向前（图中左侧）甩出去的同时，未运动的那部分链条会不断地向后退，并且未运动的链条越少后退现象越明显，根据牛顿第三定律，未动的那部分链条也会给运动链条一个向前（图中左侧）的推力，从而将其推甩出去、在桌面上形成“链条喷泉”.

图4 长链条在水平桌面滑落视频截图

因此，对于紧靠桌面处的运动链条，我们引入一个容器底（或静止链条堆）对它的一个不规则的向上的作用力Fx，支持力Fx和张力TT的合力提供桌面处链条被拉动并向上跳起所需的冲量，类似地，对刚落到地面处的链条，我们也引入一个已落地的链条堆给它的向上的不规则的张力TF，它提供让运动的链条减速并静止在地面上所需要的冲量.则桌面处链条被拉动并向上跳起所需动量由支持力Fx和张力TT的合力提供，即

链条处于稳态，在链条的维度上所有的力应正比于m0v2，令

则几式联立，可得

根据这个推导结果，当a＝b＝0时，仍然可以得到h2＝0，即只受链条张力时，不会出现“链条喷泉”的现象.否则，有h2∝h1，即“链条喷泉”向上跳起的最大高度h2和托盘与地面高度h1成正比.

通过实验来探究链条向上跳起的最大高度h2和托盘最初所处位置的高度h1之间的关系，将直径为4.5mm的镀镍铜球用长约2mm的短杆串成长为50m的珠链，实验结果如图5所示，可得h2＝0.14h1，也很好地证实了上述推导结论.

图5

总之，由上面分析可知，驱使链条向上运动的作用力并不是来自于已经脱离容器的珠链的拉力，这股向上推的力最终来自于还停留在容器内的那一部分珠链.也就是说，来自容器的推力才是链条向上“跳”起来，形成“链条喷泉”的主要原因，这个结论相信出乎了所有人的意料.

3 来自容器的向上推力可能的产生原因

既然这个帮忙往上推链条的力来自于杯底，那这个推力是怎么产生的呢？要想弄明白这个外力来源，关键在于弄明白珠链的性质和结构.因为每两个小钢珠之间是用一根很短的金属杆联结的，如图6所示，那么金属杆的一端被往上拉时，因为拉力TT不是作用在质心上，所以会使金属杆产生转动，另一端就会有向下运动的趋势，就像跷跷板一样，如图6所示.而向下运动的小球会挤压支撑它的杯底，从而获得杯底给它的一个向上的弹力FN，正是由于这种反弹提供了不规则的向上的推力，才使得链条腾空而起、悬浮在空中.

图6

4 结语

尽管对这个实验的研究仅仅是出于好奇，但好奇心是人类的天性，也是人类寻求知识的动力.“链条喷泉”这个有趣的力学实验，器材取自生活中最普通常见的链条，现象神奇，操作简单，可以应用在我们实际的物理教学中，例如，在高一第1节物理绪论课上，可以教师演示也可以由学生操作，相信一定会极大地激发学生的好奇心和求知欲，从而培养学生对物理的学习热情和兴趣.

另外，链条和绳索在工业和科技产业中有着广泛的应用，甚至在卫星和航天器上也经常会使用绳索或链条，在能源危机日益严峻的今天，人们当然希望把驱动绳索或链条所需要的质量或能量尽可能地降到最低，或许这个有趣的实验现象可以对工程学有一定启发作用.

1 视 频 来 源：http：//v.youku.com/v＿show/id＿XN-jY2Mzc5ODc2.html；http：//v.youku.com/v＿show/id＿XNjgwNzczODYw.html

2 Routh EJ.1860Dynamics of a system of rigid bodies，with numerous examples.London，UK：MacMillan.460－492.

3 J S Biggins，M Warner.Understanding the chain fountain，Proc.R.Soc.A 8March 2014vol.470，20130689.