数学期望在经济学中的应用

俞晨笛

摘 要 数学期望是随机变量最基本的数学特征之一，它是简单算术平均的一种推广。数学期望的应用范围比较广，在经济决策中特别在物流管理、投资决策和风险分析方面起着重要的作用，往往是决策者决策时的主要依据，还有许多经济、生活方面的问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决。本文例举了数学期望在各类决策中应用的实例，体现了数学期望在实际生活中的有效性和实用性。

关键词 数学期望 经济决策

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）05-0087-02

数学期望简称期望，又称均值，是随机变量最基本的数学特征之一，它是简单算术平均的一种推广。其本质运用就是对于一个随机事件，采用计算数学期望的方法将问题简化并得出最优方案，结合实例分析总结出这些方法的实用性和有效性，最终得到较科学的决策方法。因其符合客观条件，合理科学，得到了人们的关注。于是通过实践，人们打破了数学的界限，将它推广到了经济活动和实际生活，特别在物流管理、投资决策和风险分析方面，有许多问题都可以直接或间接地利用数学期望来解决。

一、相关随机变量的数学期望

1.数学期望的性质

（1）设C是常数，则有E（C）一C

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E（CX）=CEX

（3）设X，Y是两个随机变量，则有E（X+Y） =EX+EY

这一性质可以推广到有限个随机变量的情况。

（4）设X，Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）一EXEY

这一性质可以推广到有限个相互独立随机变量之积的情况。

2.几种常见概率分布及数学期望

二、数学在经济中的作用

1.培欣决策

培欣决策是基于概率基础上的著名决策法则，实质是一种风险性决策的分析方法，得出事件发生原因的概率，再按概率预测其经济效益，依此进行最后决策。如某企业要生产一种新产品决策前对市场销售量有好、中、差三种预测。其发生概率与经济效益成反比。在这种情况下，需要决策的是：（1）要不要先聘专家进行一次市场调查；（2）要不要生产该种新产品。如果市场情况好，增加的利润大于支付的调查费；若不好，不能增加利润，则支付调查费对企业不利。培欣决策是数学与经济学结合的一个典型事例。

2.生产决策问题

一生产厂对其产品的市场需求增长满怀希望。在确定计划之前，生产厂要进行微观经济决策，微观决策包括企业根据市场确定产量，进行人、财、物的合理分配目前，这样可以降低生产风险，确保生产的顺利进行。例如，某产员工以每周40h满负荷地工作着，为满足预期的市场新需求，业务主管领导在考虑是否要采用员工超时工作的应急措施或添置、更新设备的办法来增加产量（或提高产品质量），市场部的专家们预测对产品需求增加15%的可能性是60%，但同时指出，经济也可能恶化，有实际需求下降5%的可能性，其概率是40%。领导们要在此不确定的情况下做出决策，从三种可以采取的行动中选定一个行动方案，已知的有关的数据列于下表。

解：这是一个在对自然状态的信息不确知（对产品需求可能会减少5%，也可能会增加15%），但又知其概率分布（概率分别为0.4和0.6）的情况下要作出决策的问题，常称这类问题为风险型决策。

对于风险型决策问题，不论采用怎样的决策都带一定的风险，如对本例而言，若采用第一种决策，即既不增加工时也不增添设备，一旦出现市场需求增加的情况时就失去了更多获利的可能。期望值判据是一种常用的处理风险型决策的判据，即比较各种行动所产生之效益期望值的大小以作出决策。对于本例给出的数据，期望收益为：

40x0.4+35x0.6 37.0（万元）

28x0.4+40x0.6 35.2（万元）

3ix0.4+43x0.6 38.2（万元）

故若用期望值判据，则公司领导将决定采取增加设备的应急措施，对自然状态的各种概率估计很重要。在表1的数据中，若对前景持更乐观的态度，认为出现需求增长的概率是0 8，那么依同样的判据就会作出不同的决定。事实上，这时期望收益为：

40x0.2+35x0.8 36.0（万元）

28X0.2+40X0.8 37.6（万元）

3ix0.2+43x0.8 40.6（万元）

于是公司领导将会决定增添新设备，扩大规模。

3.资金投资问题

某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案？

分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪一种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。

解：由题设，一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示：

从上表可以初步看出，如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的，但如果经济形势不好，则采取存入银行的方案比较好。

下面通过计算加以分析：

（1）如果购买股票，其收益的期望值：

E1=40000X 0.3+10000X 0.5+（-20000）X0.2 =13000（元）

（2）如果存入银行，其收益的期望值：

E2=8000x 0.3+8000x 0.5+8000×0.2 =8000（元）

因此，购买股票的收益比存入银行的收益大，按期望收益最大原则，应选择购买股票。

说明：该题是按风险决策中的期望收益最大准则选择方案，在这些方案的最大利润中选出一个最大值，与该最大值相对应的那个可选方案便是决策选择的方案。由于根据这种准则决策也能有最大亏损的结果，所以这种作法有风险存在。

在求解一些看似很复杂的实际问题时，将其抽象到数学的角度，分析出其中的变量并进行深入的分析考虑且对变量做一些合理的假设后，最终采用计算数学期望的方法将问题简化并得出最优方案。完成了利用数学理论知识解决实际问题，将理论与实际相结合，体现了数学理论在实际生活中的重要性和有效性。