维续经典 创造思维新域

董光顺

摘 要：基于同源带电粒子在磁场中做圆周运动的经典模型，以高考压轴真题为例，回顾并探讨了处理抽象磁场难题时化抽象为具体的解题要点。同时，为充分开发学生抽象思维与分析能力的教学资源，尝试将最近两年磁场压轴题的考查热点：“粒子在交变磁场中的运动”等内容与同源带电粒子的运动规律进行融合，对开辟粒子在磁场中运动的命题新领域做一点尝试。

关键词：磁场；同源粒子；规律；交变磁场

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）5-0067-5

1 回顾经典：同源带电粒子在磁场中的运动模型及重要规律

由于同源带电粒子在磁场中的运动这一版块的内容极具思维内涵且较为灵活，对学生的分析能力、抽象思维和数学能力均有较高要求，故在2011年以前，该内容一度受到了压轴试题命制者的青睐。通过分析，笔者发现同源带电粒子在磁场中的运动遵循很多经典的规律，这类核心规律的应用可将试题对抽象能力和数学能力的过高要求转移到对分析能力的考查上，有助于学生高效地处理此类问题。

题型一：同源带电粒子群在磁场中完成轨迹变形

重要规律1：如图1所示，同源带电粒子群自某位置以等大的速率从不同方向射入与运动轨迹等大的圆形磁场中，则所有粒子必从该圆形磁场的边界平行射出。反之，相同粒子群从与运动轨迹等大的圆形磁场边界平行射入，则所有粒子必从某一共点射出。

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一点发散成平行 平行汇聚于一点

图1

证明：如图2所示，一带电粒子①自坐标原点沿y轴正方向射入磁场，其运动1/4周期的轨迹如图1所示（粒子水平出射）。对于朝任意方向射入的另一个同源粒子②（速度方向与水平方向的夹角为θ），设当粒子在磁场中偏转至速度方向与粒子①平行时处于P（x，y）位置：x=Rsinθ，y=R-Rcosθ。由勾股定理得坐标关系式x2+（y-R）2=R2。由此可知，粒子出射位置的坐标集合（即，磁场边界）是一个半径r=■R，圆心位于（0，R）的圆形磁场。

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图2 证明图示

反之，假设粒子自左向右平行进入强度相同方向相反的磁场，则粒子的受力及运动规律与上述情况一致，粒子将汇聚于一点（原出发点），由此便可获得规律一。

典例1 如图3-甲所示，在xOy平面内有许多电子（质量为m、电量为e）从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，现在xOy平面内施加一个磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，若要使这些电子穿过磁场后都能平行于x轴向x正方向运动，求符合题意的磁场最小面积。

逻辑分析：若要计算磁场的最小面积，应确定磁场的边界，而速度沿y轴正方向的粒子在磁场中偏转至x轴正方向属于偏转程度最大的，所以该粒子所做的1/4圆轨迹即为磁场的上边界，再利用规律1，即可确定磁场的下边界是（0，R）为圆心，半径等于■的1/4圆弧，如图3-乙所示。

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甲 乙

图3 例1图示

答案：通过分析，磁场的最小范围应是以上两个1/4圆弧的交集，其面积为Smin=πR2/2-R2=[（π-2）/2]（mv0）2/B2e2。

典例2 （2009·海南）如图4-甲所示，ABCD是边长为a的正方形。质量为m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场，不计重力。求：

（1）匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（解析略）

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

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甲 乙

图4 例2图示

逻辑分析：第（2）问分析中，若要使垂直于BC入射的粒子均从A点飞出磁场，只需把握好粒子运动的轨迹特点：“平行射入，最终汇聚于一点”，便知下边界是与运动轨迹等半径的1/4圆弧，如图4-乙所示，其圆心位于D处，故磁场的最小面积为Smin=πa2/2-a2=[（π-2）/2]（mv0）2/B2e2。

评析：对于思维能力较为一般的学生，在确定磁场下边界的过程中通常会陷入困境，一方面很难想象到磁场下边界相应的图像类型；另一方面，很难快速地证明并确定该边界的圆心及半径。但如果考生能够抓住与“规律1”相应的关键信息：“从某点出发，最终平行射出”“平行射入，最终汇聚于一点”然后将规律1迁移应用到此类问题中，就能突破解题过程中所遇到的抽象思维和数学能力障碍。

题型二：同源带电粒子群磁场中的分布范围

常规方法：“旋转圆法”是处理同源离子偏转问题最为常用的方法之一，是以粒子出射位置为旋转点，将粒子运动的圆轨迹进行旋转，从而获得粒子群轨迹大致的分布图样。

典例3 （2009·全国新课标）如图5-甲所示，在0≤x≤a，0≤y≤a/2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90 °范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

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甲 乙

图5 例3图示

评析与解：为获得最后离开磁场的粒子的运动轨迹，绕O点以半径R（a/2

解得：v=（2-■）■，sinα=■。

重要规律2：同源带电粒子群自某位置以等大的速率朝不同方向同时射入磁场，则粒子群在任意时刻均处于以出射点为圆心，任意粒子距出发点的距离为半径的圆周上。如图6所示，若某粒子自O点射出，则该粒子沿轨道①运动至A点时，同一时刻射入磁场的粒子此时均处于以O点为圆心，OA为半径的圆周I上。

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图6 规律2图示

此规律系笔者的原创想法，提炼的意图是希望在分析同源带电粒子在磁场中运动情况时，与常见的旋转圆法形成互补。并且，这一规律在确定某条件下粒子群位置时尤其便捷，可广泛应用于做圆周运动的同源粒子群经过相同时间、运动相同弧长、跨过相同弦长、扫过相同圆心角以及在磁场中发生相同角度的速度偏向等情况下，粒子群所处的位置。

此外，从图中很容易看出带电粒子离出发点最远时，粒子群位于以出发点为圆心，圆周轨迹的直径为半径的圆周上。

笔者以为，常用的旋转圆法是通过作出一系列的运动轨迹后进行的试探性分析，侧重于“试误”，而规律2的应用则是基于问题情景分析后进行的思考，偏重于“迁移”。

典例4 （2010·全国I卷）如图7-甲，在区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0～180 °范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在时刻t1刚好从磁场边界上P（■a，a）点离开磁场。求：

（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；（解析略）

（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。（解析略）

评析与解：针对第（2）问，为快捷地确定沿y轴发射的粒子自P处离开磁场时，其他粒子所处的位置，可依据规律2，以O点为圆心，OP为半径，做出圆弧如图7-乙所示。虚线圆弧即为粒子群此刻（应处）的位置，结合题中磁场的分布可知，弧线MN（图中实线）表示的是此时刻仍处于磁场中的粒子。其中，M、N两粒子处于磁场边缘，由几何关系知，P处粒子所对应的出射速度vp与弦线OP之间的夹角为■、而P、M、N三处的粒子在磁场中经过的轨迹所对应的圆心角相同，即与OM、与ON的夹角均为■。所以速度与y轴的正方向的夹角范围是■到■。

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甲 乙

图7 例4图示

2 重组经典：同源带电粒子在磁场中的运动情况再创造

从近两年的压轴试题上看，关于带电粒子在磁场中的运动情况的考查热点似乎由同源带电粒子在磁场中的偏转问题转向了带电粒子在交变磁场中的运动情况（2014·重庆、2014·山东、2013·江苏），带电粒子射击目标（2014·四川）等内容的考查上。但笔者以为，同源带电粒子在磁场中的偏转情况蕴涵着非常丰富的思维内涵，是培养学生分析能力的优质资源。另外，倘若命题人或教师在教学中对本块内容进行挖掘，或将其与交变磁场等热点进行融合，应能柳暗花明，下面附两例原创试题作引玉之用。

思路一：同源带电粒子在交变磁场中的运动

原创1 如图8-甲所示，在边长为L的正方形竖直边框ABCD内分布着垂直边框强度为B0的匀强磁场，磁场方向按图8-乙所示的规律变化，t=0时，A处有一电子发射源在竖直平面内以相同速率朝框内的各个方向同时发射了足够多的电子，已知电子质量为m，带电量为e，不计电子重力以及电子间的相互作用力，试求：

（1）为使沿AD边射出的电子垂直打在AB边，则电子从A点射出时的速度大小范围以及磁场变化周期T的最小值。

（2） 若调整电子发射速度及磁场变化周期，使得v=■，T=■，则电子打在边框上的范围是多少？

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甲 乙

图8 原创1图示

评析与解：（1）依题意，在临界条件下，粒子打在B点，即0

（2）当粒子运动1/4圆周时，磁场反向，对于沿AD方向射出的粒子其轨迹如图8-丙中①所示，利用旋转圆法，以A为中心将①顺时针旋转便可获得粒子轨迹分布的大致图样，对于轨迹与AB相切的电子，设切点为E，∵ΔAOF≌ΔO1EF，∴OF=EF，O1F=AF，而OF+O1F=OO1=2R=L，故AF+FE=L，即E与B点重合。所以，电子打在A至B与B至C的边框上。

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丙

图8

思路二：同源带电粒子在磁场中的轨迹分布以及偏转后射击特定目标

原创2 如图9-甲所示，在原点O处有一粒子源向坐标系xOy平面的第一象限内以大小为v0的速率朝各方向发射足够多的带正电的相同粒子，粒子运动一段时间t0后，在第一象限区域内施加方向垂直纸面向外的匀强磁场，已知粒子质量为m，带电量为q，不计重力以及粒子间的相互作用力。

（1）若发射速度与x轴正方向夹角为θ的粒子恰好垂直打在x轴上，试确定匀强磁场的强度。

（2）若所加磁场的强度与第（1）问相同，试求未飞出磁场的带电粒子在磁场中运动的轨迹所分布的面积大小。

（3）若施加磁场后又经过一段时间t'（t'>■）后撤去磁场，可否使仍处在磁场中的粒子重聚于一点。若可以，则t'值为多少？写出粒子重聚的点的坐标。

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图9 甲

评析与解：（1）作图知，对以θ出射的粒子R=v0ttanθ=■，可得，B=■。

（2）对于运动轨迹与x、y轴分别相切的两个粒子①、②，其运动轨迹如图9-乙实线所示，未飞出磁场的粒子在磁场中的轨迹分布于图中的封闭区域（封闭区域由两端的两个半圆与中间的两个扇形面积之差构成），由几何关系知β=θ、两扇形半径分别为r1=v0tsecθ-R，r2=v0tsecθ+R。

∴S=（■-2θ）·■·π（r■■-r■■）。

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图9 乙（下转第74页）

（上接第70页）

（3）以O点为圆心，v0t为半径作1/4圆弧（如图9-丙中的虚线所示），依题意，当粒子在磁场中偏转至轨迹与该圆弧相交处时撤去磁场，粒子群即可聚集于一点，t=（■+n）·T=（■+n）■，（n=0，1，2…）。

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图9 丙

关于粒子在磁场中运动的问题，上述试题的命制，实质上就是将两个经典模型进行整合的过程，这种在教学中大家都熟悉的做法，一方面维续了经典，另一方面开发了教学资源，开拓了思考的新领域。

3 结 语

（1）随着中学物理教学的发展，在每年高考之后都会出现一系列针对重难知识考查的经典模型。事实上，绝大多数经典模型都极具思维内涵，而新一年的试题必将在考查方式上推陈出新。所以，这些经典往往会很快过时并被遗忘。笔者以为，试题命制或备考复习时，推陈出新的同时应适度兼顾经典。

（2）同源带电粒子在磁场中的运动问题不仅对抽象思维有较高要求，同时对数学能力的考查程度也较深，但这类运动遵循很多经典“物理性”规律，对这类核心规律的理解和应用可将试题对抽象能力和数学能力的过高要求转移到对分析、迁移能力的考查上，有助于中等学生突破学习困难。

参考文献：

[1]彭俊昌.巧用“动态圆”处理带电粒子在磁场中的运动问题[J].物理教学探讨，2007，（11）：35.

（栏目编辑 邓 磊）