三道高考试题 一种解答方略

傅平修+张伟志

翻看今年山东的高考试题，发现文（21）、理（20）与山东2011年理（22）、2013年文（22）可以借助同一种方略解答，即借助三角形的面积公式S=12a1b2-a2b1和椭圆的参数方程，就可以比较简捷的解答.现给出试题及解答方略.

试题1 （2011年山东理22）已知动直线l与椭圆C：x23+y22=1交于Px1，y1，Qx2，y2两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ=62，其中O为坐标原点.

（Ⅰ）证明：x21+x22和y21+y22均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OM·PQ的最大值;

（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=62？若存在，判断△DEG的形状;若不存在，请说明理由.

试题2 （2013年山东文22）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为64的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P，设OP=tOE，求实数t的值

试题3 （2015年山东文21）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）设椭圆E：x24a2+y24b2=1，P为椭圆C上任意一点，过P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q：（1）求OQOP的值;（2）求△ABQ面积的最大值.

为了解答上述三题，现给出以下两个结论：

结论1 人教B版《数学·必修5》第10页“探索及研究”中的命题：

已知OA=（a1，a2），OB=（b1，b2），设△OAB的面积为S，则S=12a1b2-a2b1.

证明 S=12OA·OBsinθ（θ为OA，OB的夹角），

所以4S2=OA2·OB21-cos2θ

=（a21+a22）·（b21+b22）·1-（a1b1+a2b2）2（a21+a22）（b21+b22）

=（a1b2-a2b1）2，

所以S=12a1b2-a2b1.

结论2 椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为x=acosθ

y=bsinθ.

试题1解析 （Ⅰ）由已知可设：

P（3cosα，2sinα），Q（3cosβ，2sinβ），

所以S△OPQ=126cosαsinβ-6sinαcosβ

=62sin（α-β=62.

所以sin（α-β）=±1，即α-β=kπ+π2（k∈Z），

所以x21+x22=3（cos2α+cos2β）=3（sin2β+cos2β）=3，

y21+y22=2（sin2α+sin2β）=2（sin2β+cos2β）=2.

（Ⅱ）由已知M（32（cosα+cosβ），22（sinα+sinβ）），则：

OM2=14（3（cosα+cosβ）2+2（sinα+sinβ）2）

=14（5+6cosαcosβ+4sinαsinβ）.

PQ2=3（cosα-cosβ）2+2（sinα-sinβ）2

=5-6cosαcosβ-4sinαsinβ·OM2·PQ2=14（5+6cosαcosβ+4sinαsinβ）（5-6cosαcosβ-4sinαsinβ）

≤14（102）2=254.

所以OM·PQ≤52，

等号成立的条件是3cosαcosβ+2sinαsinβ=0.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知D、E、G中必有两点连线过坐标原点，故此椭圆上不存在满足条件的三点.

试题2解析 （Ⅰ）x22+y2=1.

（Ⅱ）设A（2cosα，sinα），B（2cosβ，sinβ）.

则S=122cosαsinβ-2sinαcosβ=

22sin（α-β）=64.

所以sin（α-β）=32，即sin（α-β）=±32.

E（2（cosα+cosβ）2，sinα+sinβ2），所以P（2t（cosα+cosβ）2，t（sinα+sinβ）2），代入x2+2y2=2得

t2（cosα+cosβ）2+（sinα+sinβ）2=4，

即：t2（2+2cos（α-β））=4.

因为cos（α-β）=±12，所以t2=4或t2=43，又因为t>0，所以t=2或t=233.

试题3解析 （Ⅰ）x24+y2=1.

（Ⅱ）（1）OQOP=2.

（2）设A（4cosα，2sinα），B（4cosβ，2sinβ），P（2cosθ，sinθ），所以S△AOB=12|4cosα·2sinβ-4cosβ·2sinα|

=4sin（α-β）.

因为P，A，B三点共线，且P在A，B之间，所以OP=mOA+（1-m）OB（0<m<1），

即（2cosθ，sinθ）=m（4cosα，2sinα）+（1-m）（4cosβ，2sinβ），

所以cosθ=2mcosα+（1-m）cosβ，  ①

sinθ=2msinα+（1-m）sinβ，  ②

①②平方相加得

14=m2+（1-m）2+2m（1-m）cos（α-β）③

因为m2+（1-m）2≥m+（1-m）22=12，2m（1-m）≤m+（1-m）22=12，所以cos（α-β）<0.

由③，14≥12+12cos（α-β），所以cos（α-β）≤-12，所以sin2（α-β）=1-cos2（α-β）≤34，所以sin（α-β）≤32，所以S△AOB≤23.

由（1）S△ABQ=3S△AOB，所以（S△ABQ）max=63.

注 （1）由此法亦可得，当P为AB中点时S△ABQ的面积最大.

（2）山东理科卷20题（Ⅱ）同此题（Ⅱ）.

作者简介 傅平修，男，1965年3月生，1997年破格晋升为中学高级教师.全国中学生数学奥林匹克优秀辅导员、省高中数学骨干教师、市优秀教师、市教学能手、市学科带头人.潜心于教育教学及教学研究三十余年，主编中学生读物十余部，在《中学数学杂志》等发表论文30余篇.