使用几何画板找出椭圆、双曲线的对称轴、顶点和焦点以及抛物线的焦点

文[1]介绍了如何使用几何画板找出已知椭圆的中心，文[2]介绍了如何使用几何画板找出已知双曲线的中心和已知抛物线的顶点.本文介绍如何使用几何画板找出已知椭圆、双曲线的对称轴、顶点和焦点以及已知抛物线的焦点，作为文[1]与文[2]的补充.

1 找出已知椭圆的对称轴、顶点和焦点

步骤如下：

图1

1.利用文[1]的方法找到椭圆的中心O;

2.如图1，在椭圆上任找一点A（不是椭圆的

顶点），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与椭圆

的其余三个交点分别为B、C、D;

3.连接AB、AD，过点O分别作AB、AD的

平行线，得到直线l1、l2，则直线l1、l2就是椭圆的

两条对称轴;

4.直线l1与椭圆交于E、F两点，直线l2与椭圆交于G、H两点，则E、F、G、H是椭圆的四个顶点;

5.比较OE与OG的大小，若OE>OG，则EF是长轴，GH是短轴;若OE<OG，则EF是短轴，GH是长轴（图1中OE<OG，所以EF是短轴，GH是长轴）;

6.以E为圆心，OG为半径作圆，与直线l2交于F1、F2两点，则F1、F2就是椭圆的两个焦点.

备注 若点A恰好是椭圆的顶点，则该圆与椭圆只有两个交点（其中一个是点A），此时，可对点A进行调整，使得点A不是椭圆的顶点.

下面给出该作法的证明.

证明 如图1，不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），点A的坐标为x0，y0，其中x0≠±a且x0≠0，于是圆的方程为x2+y2=x20+y20.由于椭圆和圆都关于x轴、y轴、原点对称，所以点B、C的坐标分别为x0，-y0、-x0，-y0，于是直线AB、AD的方程分别为x=x0、y=y0，所以直线l1、l2的方程分别为x=0、y=0，所以直线l1、l2就是椭圆的两条对称轴.

因为OE=b，EF1=a，所以OF1=EF12-OE2=a2-b2=c，同理，OF2=c，于是F1、F2是椭圆的两个焦点.

2 找出已知双曲线的对称轴、顶点和焦点

步骤如下：

图2

1.利用文[2]的方法找到双曲线的中心O;

2.如图2，在双曲线上任找一点A（不是双曲线的

顶点），以O为圆心，OA为半径作圆，该圆与双曲线

的其余三个交点分别为B、C、D;

3.连接AB、AD，过点O分别作AB、AD的平

行线，得到直线l1、l2，则直线l1、l2就是双曲线的两条对称轴;

4.直线l2与双曲线交于E、F两点，则E、F是双曲线的两个顶点;

5.以O为圆心，OE为半径作圆C1;

6.过点D，利用文[3]的方法作双曲线的切线l3，与C1交于点G;

7.过点G作l3的垂线，交l2于点F2，作点F2关于直线l1的对称点F1，则点F1、F2就是双曲线的两个焦点.

备注 若点A恰好是双曲线的顶点，则以O为圆心，OA为半径的圆与双曲线只有两个交点（其中一个是点A），此时，可对点A进行调整，使得点A不是双曲线的顶点.

关于双曲线的顶点、对称轴的证明方法与椭圆的证明类似，此处不再赘述.下面证明F1、F2是双曲线的两个焦点.

证明 如图2，不妨设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），点D的坐标为x0，y0，其中x0≠±a，点G的坐标为m，n.

因为点D在双曲线上，所以x20a2-y20b2=1，即

x20=a2+a2y20b2………①.

点G在圆C1上，所以m2+n2=a2………②.

切线l3的方程为x0xa2-y0yb2=1，而点G在l3上，所以mx0a2-ny0b2=1，即b2mx0-a2ny0=a2b2，两边平方，化简可得

2mnx0y0a2b2=b4m2x20+a4n2y20-a4b4………③.

因为GF2⊥l3，所以直线GF2的斜率为-a2y0b2x0，所以直线GF2的方程为y-n=-a2y0b2x0x-m，令y=0，可得点F2的横坐标为xF2=b2nx0+a2my0a2y0，平方可得x2F2=b4n2x20+a4m2y20+2mnx0y0a2b2a4y20，将③式代入该式子，可得

x2F2=b4n2x20+a4m2y20+b4m2x20+a4n2y20-a4b4a4y20=b4m2+n2x20+a4m2+n2y20-a4b4a4y20.

将②式代入，可得

x2F2=a2b4x20+a6y20-a4b4a4y20.

将①式代入，可得

x2F2=a2b4a2+a2y20b2+a6y20-a4b4a4y20

=a4b4+a4b2y20+a6y20-a4b4a4y20

=a4b2y20+a6y20a4y20

=

a2+b2=c2，所以xF2=c，于是点F2是双曲线的右焦点，从而点F1是双曲线的左焦点.

3 找出已知抛物线的焦点

步骤如下：

1.利用文[2]的方法找到抛物线的顶点O和对称轴l;

2.如图3，在抛物线上任找一点A（不是抛物线的顶

点），过A作AB⊥l于点B，作点B关于顶点O的对称点

C，连接AC;

3.过点A作AD⊥AC，交对称轴l于点D;

4.取CD中点为F，则点F就是抛物线的焦点.

下面给出该作法的证明.

图3

证明 不妨设抛物线的方程为y2=2px（p>0），点A的坐标为x0，y0，其中x0≠0，则点B的坐标为x0，0，点C的坐标为-x0，0.于是直线AC的斜率为y0-0x0--x0=y02x0，直线AD的方程为y-y0=-2x0y0x-x0.令y=0，可得x=x0+p，所以点D的坐标为x0+p，0，所以CD中点F的坐标为p2，0，所以点F就是抛物线的焦点.

参考文献

[1] 张伟.使用几何画板如何找出已知椭圆的中心[J].中学数学杂志，2014（7）：23.

[2] 黄伟亮.使用几何画板找出双曲线的中心和抛物线的焦点[J] .中学数学杂志，2015（3）：65.

[3] 黄伟亮.双曲线、抛物线切线的尺规作法[J].数学通报.2004（12）：26

作者简介 黄伟亮，男，1979年生，广东肇庆人，中学数学一级教师.研究方向是中学数学课堂教学与解题研究、高考试题分析.发表文章50多篇，主编参编教辅资料10本.