谈一个质检试题的命题构想

杨苍洲+王志良

笔者有幸参与了泉州市2014届高中毕业班单科质检数学科的命题工作.

每次命题过程中，总会有一两个试题让笔者颇有感触.在本次命题工作中，文科卷压轴试题的命制让笔者深深感触到“数形结合思想”在命题中的重要作用.笔者借助几何画板，通过对“形”的研究，经历“直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算”的思辨过程，把“形”转化为“数”，从而得到试题.下面展示此试题的命制过程，以飨读者.

1 背景选择与命题手法

笔者拟以“函数与其切线的位置关系”为背景，进行试题的命制.命题之初，笔者研究了函数y=lnx+x的图象，并作函数y=lnx+x在点A（1，1）处的切线，用几何画板画出该函数的图象及其切线（如图）.观察图象并研究该函数的导数，可知：（1）函数y=lnx+x在点A（1，1）处的切线斜率为2;（2）因为函数y=lnx+x为凸函数，所以其图象恒在其切线的下方;（3）若点Q为函数图象上的任意一点，且在点A右侧，则点Q与点A连线的斜率恒小于函数y=lnx+x在点A处的切线斜率.

数学老师都知道：数形结合是高中数学重要的数学思想;数学老师常强调：善于应用数形结合的思想进行解题常常能事半功倍;数学老师却不一定知道：用数形结合的方法命题是原创试题的一种重要方法.

用几何画板等作图工具对函数图象进行探究，并从图象中发现结论，验证结论，是数学命题的一种常规且重要的方法.因此，试题的命制，笔者选择从“数形结合”开始！

2 试题编制与修正过程

通过观察上述函数图象所得的三个结论都是可以用高中数学知识进行证明的，这使得以此为背景进行试题编制成为可能.

试题1 已知函数f（x）=lnx+x在点A（1，f（1））处的切线为l.

（Ⅰ）求切线l的方程;

（Ⅱ）证明：函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）;

（Ⅲ）设点Q（x0，f（x0）），证明：当x0>1时，直线QA的斜率恒小于2.

上述试题中所设计的函数f（x）=lnx+x的图象是定曲线，其切线也是定直线，这些因素使得试题缺乏动感，略显呆板.为了增加试题的灵动性，我们考虑在题干中引入参数，把题干中的函数改为f（x）=lnx-ax，并提示考生结合图象观察结果，通过直观感知获得结果，并进行严格证明，实现思辨论证.试题设计如下：

试题2 已知函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处切线的斜率为2.

（Ⅰ）求实数a的值;

（Ⅱ）观察函数f（x）的图象，并作答：

（ⅰ）除点A外，函数f（x）图象上的点在直线l的上方还是下方？证明你的结论;

（ⅱ）若Q（x0，f（x0）），且直线QA的斜率恒小于2，写出实数x0的取值范围，并证明.

上述试题引导学生采用“直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算”等方法认识和探索函数图象及其性质，积极响应“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”的新课程理念.虽然上述试题在题干中引入了参数a，但是，问题题干给出条件“点A（1，f（1））处切线的斜率为2”，已经再次使得函数的图象变成定曲线，因此让函数图象动起来的设想并没有实现.为了实现这一设想，我们把“斜率为2”设置为第（Ⅰ）步的前提，同时使“斜率为2”为第（Ⅲ）步的进行“提示”，埋下伏笔.由于本试题为文科考生第一轮复习的检测试题，考虑到试题难度问题，我们决定放弃“观察—猜测——证明”的构题思路，在（Ⅱ）中直接证明：“无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）”;在（Ⅲ）给出条件“直线QA的斜率恒小于2”反过来求实数a的取值范围.试题设计如下：

试题3 已知函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处切线为l.

（Ⅰ）当切线l的斜率为2时，求实数a的值;

（Ⅱ）证明：无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）;

（Ⅲ）设点P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2）），当x2>x1>1时，直线PQ的斜率恒小于2，试求实数a的取值范围.

上述试题第（Ⅲ）步，实为“斜率型不等式”的恒成立问题，一般需采用构造“差函数”，利用函数单调性，结合导数进行求解.因为kPQ=f（x2）-f（x1）x2-x1，所以当x2>x1>1时，f（x2）-f（x1）x2-x1<2，即f（x2）-f（x1）<2（x2-x1），即f（x2）-2x2<f（x1）-2x1.构造差函数h（x）=f（x）-2x=lnx-ax-2x（x>1），所以h（x）在（1，+∞）单调递减，进而利用导数求解，h′（x）=1x-a-2≤0在（1，+∞）恒成立，所以a≥1x-2在（1，+∞）恒成立，所以a≥-1.这样的求解方法技巧性较强，其解题入口相对较窄，因此，考虑对试题再次改编，适当降低解题入手点，同时使问题解法更加多样.试题改进如下：

试题4 （2014年泉州市单科质检）已知函数f（x）=lnx-ax在点A（1，f（1））处切线为l.

（Ⅰ）当切线l的斜率为2时，求实数a的值;

（Ⅱ）证明：无论a取何值，函数f（x）的图象恒在直线l的下方（点A除外）;

（Ⅲ）设点Q（x0，f（x0）），当x0>1时，直线QA的斜率恒小于2，试求实数a的取值范围.

上述试题的改进主要在第（Ⅲ）步中进行，改进过程中，我们固定了其中的一个动点，使得解题方法较为常规，解题入手点较低，解法也较为多样，但是同时也加大了试题的难度，起到了整卷的压轴作用.

3 试题解答与考查功能

从本题的解题过程所应用的知识，我们来检验本题的考查功能.

在第（Ⅰ）步中，首先必需求解函数f（x）的导函数f′（x）=1x-a（考查了导数的运算），又因为函数f（x）在点A（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2，所以a=-1（考查了导数的几何意义）;

在第（Ⅱ）步中，首先应先求出切线l的方程y=（1-a）x-1（考查了导数的几何意义，直线的点斜式方程），然后构造函数g（x）=f（x）-[（1-a）x-1]=lnx-x+1，下证函数g（x）恒小于等于0.因为g′（x）=1x-1=1-xx，又因为x>0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）>0;当x∈（1，+∞）时，g′（x）<0，所以函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以当x=1时，g（x）取得最大值g（1）=0，所以g（x）≤0，所以f（x）≤（1-a）x-1，即函数f（x）的图象恒在其切线l的下方（切点除外）（考查了导数在研究函数中的应用，即利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值）.

在第（Ⅲ）步中，先写出直线QA的斜率，即kQA=f（x0）-f（1）x0-1，进而把问题转化为恒成立问题，即“当x0>1时，f（x0）-f（1）x0-1<2恒成立”，对于上式的处理方法较多，这里我们考虑进行变量分离，整理得：lnx0x0-1-a<2，即a+2>lnx0x0-1恒成立.下面只需要求出函数y=lnxx-1的最大值即可（以“恒成立”为背景考查了导数在研究函数中的应用，即利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值）.此处的常见解法有三：

一、可以直接对y=lnxx-1求导，求解其最值，此种解法会遇上“00型”的极限问题，可用洛必达法则进行求解，但是在高中无法处理;

二、求函数y=lnxx-1的最大值时，基于对函数y=lnx与y=x-1图象性质的认识，可知lnx<x-1（x>1）恒成立，使得问题峰回路转.下证：令h（x）=lnx-（x-1）（x>1），则h′（x）=1x-1<0，所以h（x）在（1，+∞）单调递减，所以h（x）<h（1）=0，即lnx<x-1，所以当x>1时，lnxx-1<1，所以a+2≥1，即a≥-1.

三、发现函数y=lnxx-1的最大值需要用洛必达法则求解，或用二阶导函数后发现y=lnxx-1在（1，+∞）单调递减，可得y<y，但是当x=1时y=lnxx-1的函数值无法求解.这些是高中没有介绍的知识或者无法求解的问题，因此考虑改变解题方向，不等式lnx0x0-1-a<2可以变形为lnx0-（a+2）（x0-1）<0，令h（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x>1），则h′（x）=1x-（a+2），因为x>1，所以0<1x<1，下面对a的取值情况进行分类讨论：

（ⅰ）当a≤-2时，a+2≤0，此时h′（x）>0，所以h（x）在（1，+∞）单调递增，所以h（x）>h（1）=0，不满足题意;

（ⅱ）当-2<a<-1时，0<a+2<1，所以当x∈（1，1a+2）时，h′（x）>0，当x∈（1a+2，+∞）时，h′（x）<0，所以存在s∈（1，1a+2），使得h（s）>h（1）=0，不满足题意;

（ⅲ）当a≥-1时，a+2≥1，此时h′（x）<0，所以h（x）在（1，+∞）单调递减，所以h（x）<h（1）=0，满足题意;

综上：a≥-1.

从上述解题过程我们可以看出：本题以“函数图象与其切线的图象”为载体，考查了导数的运算、导数的几何意义、导数在研究函数中的应用等基础知识;考查了推理论证能力、运算求解能力及应用意识和创新意识;考查了化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想、有限与无限思想.

4 试题编后感

一个试题成题后，作为命题者总有千般感想.它给解题者，讲题者，命题者以怎样的启发呢？

4.1 给解题者的启示

本题的第（Ⅲ）步是区分能力的步骤，“上者”直接由教材习题结论“lnx<x-1（x>1）”产生联想，求解出y=lnxx-1的最大值，真有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”之感;“中者”按部就班，构造函数h（x）=lnx-（a+2）（x-1）（x>1），然后对a的取值情况进行分类讨论;“下者”进行程序化解题，把“恒成立问题”通过“变量分离”转化为“求最值问题”，得“a+2>lnx0x0-1恒成立”，最后在求解y=lnxx-1的最大值时遇挫，终止解题失败.因此，解题者需要积累足够的解题经验，善于进行解题联想.同时，进行适当的记忆，如对公式的记忆，对题型的记忆，对一些常见结论进行记忆，解题必将事半功倍.

4.2 给讲题者的启示

讲题者要是能洞悉命题者的命题手法、思路与意图，那么他就能站在更高的角度俯瞰全局，他的解题思路必将更加开阔，从而使问题得以巧解、速解.在讲解时，讲题者要是能在课堂上用几何画板对试题进行探究，为学生呈现试题的源流，如第（Ⅱ）步的背景实为“凸函数图象上任意一点处的切线恒在其图象的上方（切点除外）”;第（Ⅲ）步的背景实为“凸函数图象上在点A右侧的任意一点Q与点A连线的斜率恒小于函数y=lnx+x在点A处的切线斜率.”如此进行试题背景的揭示，必将使得课堂教学深入浅出，同时，可以树立学生的解题信心.

43 给命题者的启示

命题工作是教师的日常工作之一，原创试题是一种十分艰辛的开创性、创新性的劳动.如何进行高效的创新工作呢？笔者总结这几年浅薄的一点命题经验，借助适当的辅助工具将能有效提高劳动效益，试题命制中，常见的的辅助工具有哪些呢？

（1）教科书.教科书的各个角落都可成为命题出发点，对其进行深入的改造，可得好题;

（2）历年高考试题.对历年高考试题的结论进行改造、类比、推广、迁移是快速得到好题的又一途径;

（3）期刊杂志.中学数学期刊杂志的文章中，有对各种数学结论的探究，有对各类试题的研究评价等，只要认真研读，或许其中的某一个点就能激起思维的火花，成为命题的落脚点;

（4）多媒体工具.几何画板、超级画板、GeoGebra等计算机软件是命题者进行数学探究，发现数学结论的重要工具.利用这些计算机软件绘制的图象，十分精准、直观，修正改动时也更加直接、方便.在本题的命制过程中，笔者就是借助几何画板，研究函数y=lnx+x的图象与其切线的关系，从而观察出三个结论，进而命制成题.

作者简介 杨苍洲，男，1979年生，主要从事高中数学教学工作、高考命题研究.泉州市中小学名师工作室成员，获福建省第二届教师教学技能大赛特等奖，多次参与福建省质检命题、常年参与主持泉州市质检命题，参与2014年福建省高考命题.

王志良，男，1977年出生，主要从事高中数学教学工作、高考命题研究.泉州市中小学名师工作室成员，多次参与主持泉州市质检命题.