基于分形的左手材料设计

陈华等

摘 要： 为了寻找一种设计出特异媒质单元结构的可行方法，利用分形理论中的文法构图法，采用不同的公理和改写规则，设计出两种全新的分形图案，之后将其周期性地分别蚀刻在介质板两面，通过电磁仿真软件HFSS得到其散射参数的幅值和相位，利用等效参数提取软件提取其等效参数，成功构造出特异媒质中的一类，即左手材料，且在5.5～6 GHz频率下其等效介电常数和等效磁导率均为负。利用分形理论构造特异媒质单元结构的方法是方便可行的，且图形有无穷可能性。

关键词： 分形； 左手材料； 等效介电常数； 等效磁导率

中图分类号： TN82?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2015）08?0096?03

Left?handed metamaterials design based on fractal geometry

CHEN Hua1， JIA Jia2， JIA Yuan?yuan1， CHEN Zhe?si3

（1. Center of Disease Control and Prevention， Chengdu Military Region， Chengdu 610021， China；

2. The information Center of Comprehensive Plan Office of Air Force Equipment Department， Beijing 100843， China；

3. Department of Rehabilitation Medicine， General Hospital of Chengdu Military Region， Chengdu 610083， China）

Abstract： To find a feasible way to design metamaterial structure， by using different axioms and rewriting rules， two kinds of new fractal pattern were designed， and then periodically etched in the medium plate on both sides respectively. The amplitude and phase of scattering parameter were obtained with electromagnetic simulation software HFSS. The equivalent parameter is extracted with the equivalent parameter extraction software. The left?handed metamaterial in peculiar medium was successfully constructed， whose equivalent dielectric constant and equivalent permeability are both negative under 5.5～6 GHz frequency. The method to construct metamaterial structure by using fractal theory is convenient and feasible， and the graphics have infinite possibility.

Keywords： fractal； left?handed metamaterial； effective permittivity； effective permeability

0 引 言

“Metamaterials”是本世纪物理学领域出现的一个新的学术词汇，国内称为特异媒质，或是电磁超材料，其是指一些具有天然材料所不具备的超常物理性质的人工复合结构或复合材料[1]。其典型代表有左手材料（LHMs）、零折射率材料（ZIMs）、光子晶体（EBG）等[2?4]。左手材料是指其等效介电常数和等效磁导率同时为负值的特异媒质，由于其具有诸如如负折射现象[5]、逆多普勒效应、逆Cerenkov辐射[6]等不同寻常的物理性质，因此在微波平板聚焦透镜、带通滤波器、耦合器、天线以及隐身衣等方面具有广泛的应用前景。未来，左手材料将会在无线通信的发展中起到不可忽略的作用。

分形（Fractal），源于拉丁词语fractus，意思是不规则支离破碎形。其概念由法国数学家B.Mandelbrot提出，用以描述人们在研究自然和科学实验中遇到的无法用传统欧式几何描述，却具有某种自相似特性（局部形态与整体形态相似）的不规则结构和现象[7]。利用分形原理，可以设计出大量形状各异的分形图案。

目前，大部分特异媒质的设计为由平面单元组成的周期性结构，但在工程运用中，如何设计特异媒质却一直是一个难点，本文正是探索利用分形图案设计特异媒质中的左手材料。

1 两种新的分形图案设计

分形理论是当今十分风靡和活跃的新理论。其最基本的特点是用分形分维的数学工具来描述研究客观事物。构造分形的方法很多：迭代函数法、文法构图法、逃逸时间算法等。本文采用文法构图法来构造分形，字符串替换是此法的核心思想[8]。可以理解为：若一个字符串由字母a和b组成（a和b可能出现多次），每一个字母对应一个改写规则，如a→b，b→ab。假设初始字符串（称为公理）仅由字母aab组成，那么经过两次改写后，字符串变成了aab→bbab→ababbab，以此类推，这种做法用来表示生长过程是很有意义的。之后，再将每一种字符赋予不同的操作，就能生成各种图形。例如生成三阶Koch曲线时，只要设置公理为F，改写规则为F→F+F--F+F，迭代次数为3即可，之后规定字符代表的操作为：遇到“F”，向前移动一步并画线，步长为d；遇到“+”，逆时针方向旋转60°；遇到“-”，顺时针方向旋转60°。这样三阶Koch曲线便可以生成。如图1所示为Koch曲线的生成过程。

图1 Koch曲线生成过程

利用此方法，本文设计的第一种分形图形为“箭头”形，采用公理为M+++M+++M+++M，改写规则为M→M++++A--A--A--A--A++++M，其中字母M代表向前画一条长度为M的线段，字母A代表向前画一条长度为A的线段，“+”代表逆时针旋转30度，“-”代表顺时针旋转30°，经过一次改写后，生成的图形如图2所示。

图2 “箭头”形分形图案

设计的第二种分形图形为“十”字形，采用公理为H-H-H-H，规则为H→H-H--H-H-H--H-H。字母H代表向前画一条长度为F+K，宽度为K 的矩形条，“+”代表逆时针旋转90°，“-”代表顺时针旋转90°。经过一次改写后，生成的图形如图3所示。

2 等效参数提取软件的正确性验证

等效参数提取软件是一款基于Smith方法而自行开发的软件，其原理是通过散射参数的幅度和相位计算出折射率和阻抗，之后再获得等效介电常数和等效磁导率值的方法[9]。为了保证后期计算出来数据的可靠性，首先对等效电磁参数提取软件的正确性进行验证。

图3 “十”字形分形图案

验证采用的模型是著名的Srr?Rod结构，将开口谐振环（Srr）和金属细线（Rod）分别印刷在微波基板两面，具体结构如图4（a）所示，根据文献[10]中的数据，单元结构尺寸分别为：矩形环外环边长w=3 mm，矩形环条带宽度c=0.25 mm，内外环间距d=0.5 mm，矩形环开口宽度g=0.5 mm，金属细线宽度g=0.5 mm，金属细线长度a=5 mm，单元间距4.8 mm，微波基板的介电常数为3.84，损耗角正切为0.018，长度和宽度均为5 mm，厚度0.25 mm。图4（b）为仿真模型俯视图，波沿x方向传播。

图4 Srr?Rod单元结构示意图和Srr?Rod模型俯视图

经过仿真计算之后得到的散射参数幅值和相位如图5所示。用等效参数提取软件提取出等效介电常数和等效磁导率的实部和虚部，之后分别与参考文献中得出的等效参数结果对比，如图6所示，可以发现两者结果十分吻合。

3 设计模型的参数提取

在介电常数2.65，边长L=12 mm，厚度1 mm的微波基板两侧分别蚀刻如图2、图3所示的“箭头”形和“十”字形两种分形图形。其中，参数M=4.3 mm，A=2.4 mm，F=1.1 mm，K=1.2 mm，电磁波沿z轴垂直介质板入射。之后利用该软件对此基于分形设计出来的模型进行参数提取。

图5 S参数幅值和相位

图6 等效介电常数实部和虚部

根据仿真计算的散射参数幅值和相位结果，得到了此材料的等效介电常数、等效磁导率以及折射率的实部和虚部具体值。结果表明，在5.5～6 GHz频率范围内，此模型的等效介电常数、等效磁导率及折射率均为负，即呈现左手材料性质，如表1所示。

表1 模型在5.5～6.0 GHz处的等效电磁参数实部和虚部数据

图7为该左手材料的等效介电常数、等效磁导率以及折射率的实部和虚部曲线图。

图7 左手材料实部和虚部

4 结 语

特异媒质的单元结构设计一直是个难点。但在本文中，利用分形理论中文法构图法，一种新型左手材料被成功设计出来，表明此方法是有效可行的。更多特异媒质结构，如零折射率材料，EBG结构等都可尝试利用此法进行设计。

参考文献

[1] 姜涛.Metamaterial的若干电磁性质及其应用研究[D].杭州：浙江大学，2011.

[2] NADER Engheta， RICHARD Z W. Metamaterials： physics and engineering explorations [M]. [S.l.]： IEEE Press， 2006.

[3] ROTMAN W. Plasma simulation by artifcialdielectrics and parallelolate media [J]. IRE Transactions on Antennas Propagat， 1962， 4： 82?84.

[4] AL? Andrea. Epsilon?near?zero metamaterials and electromagnetic source：Tailoring the radiation phase pattern [J]. Physical Review B， 2007， 6： 102?105.

[5] PARAZZOLI C G， GREEGO R B， LI K， et al. Experimental verification and simulation of negative index of refraction using snell′s law [J]. Physcis Review Letters， 2003， 12： 107?110.

[6] KONG J A. Electromagnetics [M]. New York： Wiley， 1975.

[7] 宋小弟，冯恩信.分形天线工程及其新进展[J].无线通信技术，2008（2）：48?54.

[8] 朱华，姬翠翠.分形理论及其应用[M].北京：科学出版社，2011.

[9] SCHURIG D， MOCK J J， JUSTICE B J， et al. Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies [J]. Science， 2006， 314： 977?980.

[10] LUBKOWSKI G， SCHUHMANN R， WEILAND T. Extraction of effective metamaterial parameters by parameter fitting of dispersive models [J]. Microwave and Optical Technology Letters， 2007， 49： 23?26.