基于多元气温概率模型的气温期权定价方法研究

金哲植, 魏连鑫, 崔基哲

(1.延边大学理学院,延吉 133002;2.上海理工大学理学院,上海 200093; 3.延边大学经济管理学院,延吉 133002)

基于多元气温概率模型的气温期权定价方法研究

金哲植1, 魏连鑫2, 崔基哲3

(1.延边大学理学院,延吉 133002;2.上海理工大学理学院,上海 200093; 3.延边大学经济管理学院,延吉 133002)

针对日常天气风险管理中的气温期权定价问题,Cao-Wei模型不能充分反映气候变暖趋势和各地域之间的相关关系.为解决这一问题,提出了反映气候变暖趋势以及各地域间关联的新的多元气温概率模型,并基于该模型,利用燃烧分析法及蒙特卡洛模拟法对制冷日/制热日(CDD/ HDD)指数期权进行了精确的定价.结果表明,采用蒙特卡洛模拟法对CDD/HDD指数期权定价更为合理,分析得出的结论对天气衍生品市场提供了有效的理论依据,对期权定价有较高实用价值,为今后利用CDD/HDD指数期权对气象保险进行合理的风险对冲,起到很好的风险管理效果.

多元气温概率模型;燃烧分析法;蒙特卡洛模拟法;CDD/HDD

近年来,涂春丽等[1-3]在天气风险管理以及衍生品定价方面开展了研究.Cao等[4-5]为了表示气温变化的不确定性,提出了Cao-Wei气温概率模型,但该模型不能很好地反映气候变暖趋势和各地域之间的相关关系.为此,金哲植[6]在2012年提出了能够较好地反映气候变暖趋势和各地域间相关关系的多元气温概率模型,但针对天气衍生品相关的诸多问题没有进行进一步的探讨.

为了多元气候概率模型的有效推广及金融衍生品定价方面的具体应用,本文对天气衍生品进行了进一步的模型分析.在改善原有模型的基础上,利用燃烧分析法[7]以及蒙特卡洛模拟法[8],对制冷日/制热日(CDD/HDD)指数期权进行精确的定价.

1 多元气温概率模型

Cao-Wei模型一次只能对一个地域进行模型化分析,需要对多个不同地域构造气温模型,该模型有它的局限性.很多现实中碰到的气温期权问题需要对多个地域的数据进行分析,进而建立一个能准确地反映地域间关联的概率模型.Cao等[4-5]提出的气温概率模型如下:

为此,笔者在2012年提出了一个多元时间序列模型[6].此模型在单元模型的基础上,添加每地域虚拟变量作为分析因素建立的模型,使用了表示不同地域的虚拟变量和交互变量,其中的虚拟变量可以同时反映地域和日值效果,体现出不同地域的气温效果.

单元模型与多元模型公式如下:

单元模型

式中,Y′,X′,T′分别为标准化后的平均气温、虚拟变量和总趋势;R为地域;r∈{0,1,2,3,4,5}分别代表地域北京、武汉、重庆、天津、上海、广州.

上述多元模型不能明确表示各地域之间的相关关系.现利用多元时间序列模型,VAR1(vector autoregressive 1 models)对残差进行建模,估计不同地域间的相关关系和自相关性,建立一个能够表现出残差结构的模型

2 CDD/HDD期权的定价

本文研究的期权主要是企业为了对冲气温风险所利用的场外期权.这样的场外期权大部分是对夏季(5月—9月)和冬季(11月—3月)的气温而言,是到期时间为6个月以上的长期期权.期权价值不仅与到期时的温度有关,又是受一定时间内温度变化影响的路径依赖型(path-dependent)期权.在这里对未来由时刻T1到时刻T2的CDD/HDD指数期权进行定价.

首先,对未来时刻T1到时刻T2的计算HDD和CDD指数公式为

利用上述定义的HDD指数,计算期权价格的公式为式中,t是时间;K是期权的执行价;r是无风险利率.通过上式可以得到利率r下任一时刻t的期权价格,在风险中性概率的情况下,可以用无风险利率近似.同样,对于CDD的看涨期权和看跌期权,价格计算公式

根据期权定价的公式求出解析解是非常困难的.相比对于解释影响期权价格的参数,鉴于路径依赖型期权的特征,决定通过模拟气温期权的价格作出评价.本文采用了两种模拟方法:一种是用燃烧分析法,用过去的气温预测未来的气温,这时假定气温按照过往历史作规律性变化;另一种是采用蒙特卡洛模拟实验方法,用已估计的参数和生成的随机数计算和预测所需时期内的期权价格.

3 CDD/HDD指数期权定价方法

选取北京等6个城市1980年1月1日到2009年12月31日,共30年日值平均气温数据进行实证分析,考虑到中国气象的复杂性分为内陆和海岸,从中各选取3个主要城市作了数据分析.具体考虑到闰年的情况,每年2月份的数据设为共29天.每年数据个数为366个,共30×366=10 980个,本文提出的多元气温概率模型中总的参数个数为373个,利用以上数据进行具体的实证分析.

3.1 常用天气衍生品期权定价方法

a.基于燃烧分析法的期权定价

Black-Scholes定价模型广泛应用于金融衍生品的定价,但该模型需要一系列假设条件基础,加上天气衍生品并不符合该模型的前提假设条件,天气衍生品中无法使用.很多文献使用燃烧分析法来定价天气衍生品[2,6-8],它是基于历史数据进行模拟来解决天气衍生品定价的一种近似方法.以基于温度的天气衍生品(CDD/HDD指数期权)为例,使用燃烧分析法进行定价时,基本可按以下三个步骤进行:首先,收集和整理某一特定时间段的温度数据,将剔除时间趋势等因素影响后的温度数据转化为对应的温度指数;其次,通过对温度指数进行历史模拟,计算此特定时期内的每期收益,进而得出平均收益;最后,对平均收益进行贴现,所得基于温度的天气衍生品的公平价格即为所得历史收益的平均值.图1是基于燃烧分析法计算的CDD指数,图2是基于该方法计算的HDD指数,分别以北京地区为例,30年(1980年—2009年)的CDD/HDD指数历史年份数据(来源于中国气象科学数据共享服务网)画出时序图及其拟合曲线.

图1 基于燃烧分析法计算的CDD指数Fig.1 CDD index based on burn-analysis method

图2 基于燃烧分析法计算的HDD指数Fig.2 HDD index based on burn-analysis method

利用燃烧分析法对CDD/HDD指数期权定价计算结果如表1所示,其中CDD指数期权执行价格设计为930,HDD指数期权执行价格设计为2 500,执行价≈平均+0.5×标准差[9].可以看出,由于选择数据资料期间的不同,所计算出的CDD/HDD指数期权价格没有统一性.Lee[9]和Dischel[10]在天气衍生品定价研究中采用燃烧分析法,也得出数据选择周期对天气衍生品的价值影响很大.权元太[7]也用燃烧分析法得出同样的结论.国内的袁国军等[11]和郝静文等[12]也提出了不同的期权定价方法及统计分析方法.本文是按1980年到2009年共30年气温数据,用燃烧法进行模拟,也得出同样的结论,无法判断其衍生品价值.

采用燃烧分析法定价主要面临两个问题:一是采用多少年历史数据,这主要与时间窗选择有关,对计算结果产生不可忽略的误差;二是燃烧法是对历史数据进行分析,所以不需要温度的预测,不能针对历史温度资料赋予权重,模型显得较为粗糙.

表1 利用燃烧分析法对CDD/HDD指数期权定价Tab.1 CDD/HDD index option pricing by burn-analysis method

b.蒙特卡洛模拟实验期权定价

蒙特卡洛法是随机运动路径得到价值期望的数值方法.针对金融分析时,它通过模拟标的资产价格来实现.针对传统金融衍生品定价时,它是通过模拟标的资产价格来实现.如果要用在天气衍生品定价上,需模拟出天气衍生品标的指数随机路径来实现.本文模拟气温变化时,考虑气温的季节性变化、气温均值回复过程、地理位置气温变化等因素.本方法要用气温的统计特征模拟出大量随机数和各种天气情况,灵活对不同地区的各种天气衍生品进行定价.

3.2 本文天气衍生品期权定价方法

在多元气温概率模型和Cao-Wei模型的基础上,使用蒙特卡洛模拟法计算了占据气温期权商品交易95%以上的CDD/HDD指数期权价格作比较.

基于多元气温概率模型的蒙特卡洛模拟法实施步骤如下:

步骤1 利用多元气温概率模型和Cao-Wei模型生成2010年平均气温的预测值.

基于上面提到的Cao-Wei模型中的式(1)—(3)及多元气温概率模型中的式(6)—(10),利用30年(1980年—2009年)平均气温数据计算生成2010年的平均气温预测值.在具体分析中为了减少误差,应尽可能多地生成平均气温预测值数据.

步骤2 计算对应预测值的CDD/HDD指数.

基于式(3)以及步骤1所计算出的平均气温预测值的CDD/HDD指数[9],其中CDD指数的计算是从2010年5月到2010年9月的平均气温数据, HDD指数的计算是从2010年11月到2011年3月,各使用了共5个月的气温数据.

步骤3 计算CDD/HDD指数的期望值,再利用贴现的方法,计算相应期权价格.

基于式(3)—(6),以CDD/HDD指数为标的资产的CDD/HDD指数期权的价格为期望值,再进行贴现的方法计算出相应期权价格,计算上述特定时期(5个月)内CDD/HDD指数期权的每期收益,得出平均收益;最后,对平均收益利用无风险利率进行贴现,计算出最终的CDD/HDD指数期权的价格.

该多元气温概率模型与Cao-Wei模型相比,描述气候变暖趋势更明显,充分反映了各地域间的相关性,并克服了燃烧分析法期权定价中存在的问题.本文模拟气温的变化时,考虑气温的季节性变化、气温的均值回复过程、不同地理位置的气温变化等基本因素,并将这些基本因素反映到多元气温概率模型中,提高了计算精度,从而提升了蒙特卡洛模拟实验法在期权定价问题中的实用性.

多元气温概率模型与Cao-Wei模型的计算结果比较如表2所示,主要以平均、标准差为基础计算CDD/HDD指数.表3和表4分别是根据多元气温概率模型计算出的CDD和HDD指数期权价格.

表2 基于蒙特卡洛模拟法的CDD/HDD指数基础统计量Tab.2 Basic statistics of CDD/HDD index based on Monte-Carlo simulation

表3 CDD指数期权定价Tab.3 CDD index option pricing

表4 HDD指数期权定价Tab.4 HDD index option pricing

式中,n=年度数×t,其中年度数为30年,t为366;k为自由度,由式(6)的373个参数组成.均方

均方根误差统计量RMSE的计算方法为根误差越小,对数据模型的拟合度越高.表5是RMSE为基准的模型拟合度比较,图3是根据RMSE为基础的模型拟合度输出的比较结果.

表5 模型拟合度比较Tab.5 Comparison of the models’fitting

可以看出,本文提出的模型与Cao-Wei模型、单元模型相比较,现有模型更接近实际,得出的结果在精确定价气温期权以及开发相应天气衍生品方面将起到良好的效果.

图3 多元模型与其它模型的RMSE比较Fig.3 RMSE comparison between the multivariate model and other models

4 结 论

提出了适用于日值气温变化、反应气候变暖趋势、不同地域相关关系的多元气温概率模型,并基于该模型利用燃烧分析法及蒙特卡洛模拟法对CDD/ HDD指数期权进行精确的定价.计算结果表明,该模型与Cao-Wei模型相比,平均值基本相同但偏差小,CDD/HDD指数期权的定价有效且合理.在气温期权定价方面,本文提出的天气风险管理中的多元化新模型,气候变化趋势比Cao-Wei模型更明显,解决了Cao-Wei模型不能充分反映气候变化趋势的问题.此外,在分析方法上也有理论性突破:其一是解决了传统的燃烧分析法定价中的历史数据长度度量问题,减少了燃烧分析法产生的误差;其二是攻克了燃烧分析法不能对数据赋予权重的问题,这对地区间温度关联度分析具有更好的使用效果;其三是充分反映了各地域间的相关关系.该新模型反映了季节性变化、气温均值回复、不同地区气温变化等因素,提高了计算精度,提升了蒙特卡洛模拟法在期权定价问题中的实用性.

[1] 涂春丽,王芳.基于神经网络和蒙特卡洛方法的天气衍生品定价研究[J].中原工学院学报,2012,23(3): 7-9.

[2] 王政.基于气温指数的天气期权定价研究[J].商业经济,2012(3):28-30.

[3] 胡正,董青马.天气风险管理及其最新研究进展[J].西南金融,2012(5):31-34.

[4] Cao M,Wei J.Pricing the weather[J].Risk,2000, 67-70.

[5] Cao M,Wei J.Weather derivatives valuation and market price of weather risk[J].Journal of Futures Markets,2004,24(11):1065-1089.

[6] 金哲植.基于多元气温概率模型的对气象保险的定价和风险评估[J].延边大学学报(自然科学版),2012, 38(3):191-195.

[7] 权元太.气候变化的科学现状与前景[J].韩国气象学会学报,2005,41(1/2):217-337.

[8] 李昌洙.基于气温概率模型对气象保险定价的研究[J].保险开发研究,2008,19(2):55-76.

[9] Lee J H.A study on the valuation of the CDD/HDD weather options[J].The Journal of Korean Securities Association,2002,31:229-255.

[10] Dischel B.A model for weather risk[J].Energy and Power Risk Management,1999,11(3):20-21.

[11] 袁国军,肖庆宪.基于近似对冲的亚式期权定价模型与实证分析[J].上海理工大学学报,2014,36(5): 416-424.

[12] 郝静文,陆秋君.安徽省碳排放量的实证研究[J].上海理工大学学报,2013,35(2):126-130.

(编辑:董 伟)

Pricing Method for Weather Options Based on Multivariate Temperature Model

JINZhezhi1, WEILianxin2, CUIJizhe3
(1.College of Science,Yanbian University,Yanji 133002,China;2.College of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China;3.College of Economic and Management,Yanbian University,Yanji 133002,China)

Regarding the pricing problem of temperature option in everyday weather risks management,the Cao-Wei model is insufficient to reflect the global warming trend and correlation among geographical regions.In order to resolve this problem,a new multivariate temperature model was proposed.Based on the model,the cooling design day/heating design day(CDD/HDD) index options were priced accurately by using the burn-analysis method and Monte-Carlo simulations.The simulation results indicate that using Monte-Carlo simulations to price CDD/HDD index options is not only effective but also reasonable.In addition,the result provides for the weather derivatives market an effective theoretical evidence and also has practical value for option pricing.The necessary theoretical basis for the future development of domestic insurance and weather derivatives was supplied,and the future use of the CDD index option can be more reasonable to hedge weather insurance and will play an effective role in risk management.

multivariate temperature model;burn-analysis method;Monte-Karlo simulation; CDD/HDD

F 830

A

2014-03-24

国家自然科学基金资助项目(11361064);延边大学科技发展计划项目(2012700-602014066)

金哲植(1977-),男,讲师,博士.研究方向:信息统计与保险精算.E-mail:jinzhezhi@sina.com

崔基哲(1972-),男,副教授.研究方向:信息管理、技术经济及管理.E-mail:cuijizhe@foxmail.com