非数据辅助的多指数连续相位调制信号的载波频率估计算法

杨 春，钟 声，谢 滔，谢顺钦，张 健，郄志鹏

(1.中国工程物理研究院 电子工程研究所，四川 绵阳621900;2.国防科学技术大学 电子科学与工程学院，长沙410073)

0 引 言

多指数连续相位调制(Multi-h CPM)是一种有记忆的、高效的、恒包络的非线性调制技术，它具备高效的频谱效率和功率效率［1-4］且对功放和信道的非线性特性不敏感等性质，在无线通信系统中有着广泛的应用。多个随时间循环变化的调制指数不仅可以提高抗误码能力［5］，还可以使频谱更加紧凑、带外滚降更快，提高其频谱利用率，在带宽和功率受限的条件下，Multi-h CPM 有着比单指数CPM 更加优异的传输性能。由于Multih CPM 信号的载波频率估计困难且算法复杂度较高，如何有效地实现Multi-h CPM 信号的载波频率估计成为了Multi-h CPM 接收机研究的关键。

目前关于Multi-h CPM 信号的载波频率估计算法的研究比较少，基于FFT 鉴频的CPM 频率估计是较为常见的载波频率估计算法，可以同时适用于单、多指数CPM 信号。但该算法对CPM 信号具有一定的应用局限，这主要是因为FFT 算法对抑制载波信号的频率估计精度有限，因此需要对接收的CPM 信号进行P 次幂操作(P 为调制指数的分母项)才能获得其离散的载波频率分量，而P 次幂的处理使得接收信号的信噪比急剧恶化，因此基于FFT 鉴频的载波频率估计算法对CPM 信号具有应用局限性。对于单指数CPM，文献［6］提出了一种非数据辅助的GMSK 的载波频率恢复算法，在延迟相乘提取载波频率误差的基础上，通过计算接收信号的自相关值提高了频率估计的精度。文献［7-8］提出了一种基于判决反馈的载波频率和载波相位的联合估计算法，通过对CPM 信号的波形分解［9-10］近似降低了算法的复杂度，但该类算法不适用于Multi-h CPM 信号。文献［11］给出了一种定时-频率联合估计算法，通过对接收信号差分并平方，然后选择具有最大平均功率的支路信号获得载波频率误差的估计值，但该算法对部分响应长度较长的CPM 性能较差且实现复杂度较高。文献［12-13］提出了一种基于前导码元辅助的载波频率恢复算法，通过对已知频谱特性的前导码元进行离散傅立叶变换获得CPM 信号的载波频率误差的估计值，但是前导码元序列的引入造成了额外信号带宽的使用。文献［14］针对单指数CPM 信号提出了一种非数据辅助的载波频率估计算法，但并不适用于Multi-h CPM 信号。

本文在文献［14］的基础上，提出了一种适用于Multi-h CPM 信号的非数据辅助的载波频率估计算法。基于最大似然准则，通过对载波频率和调制指数同步偏差的边缘联合似然函数化简，获得了Multi-h CPM 信号载波频率的估计，并给出了Multi-h CPM 信号载波频率估计算法的修正Cramer-Rao 限。该算法对全响应和部分响应Multi-h CPM 信号均能实现有效的载波频率估计，而且对符号定时偏差和调制指数同步偏差不敏感。

1 Multi-h CPM 信号模型

式中:Es为信号码元能量;T 为码元间隔宽度;α=(α0，α1，…，an)为发送的M 进制信息符号序列，即αn∈{±1，±3，…，±(M－1)}。调制指数hn－=kn－/p，kn－和p 是互素整数且hn－在每个码元周期内保持不变，多个调制指数{h0，h1，…，hNh－1}以Nh为周期循环变化，n－表示n 模Nh的运算。

2 非数据辅助的载波频率估计

AWGN 信道中传输后的Multi-h CPM 接收信号的复基带信号可以表示为:

式中:n(t)为接收端功率谱密度为N0的零均值复高斯白噪声;τ 为符号定时偏差，它主要由发送端与接收端的时钟偏差引起;ζ 为调制指数同步偏差，其值取自于一个离散的有限集合Γ={0，1，…，Nh－1}，其物理意义为:由于非完整接收，造成发送信号与接收信号的调制指数周期循环变化的起始时刻不一致;θ 为信道引入的随机相位;f 为数字下变频后残留载波频率。

根据最大似然定理，在观察间隔0 ≤t ≤L0T内(L0为观察的符号间隔长度，且L0是Nh的整数倍)，未知参数和的联合似然函数可表示为:

将式(5)代入式(4)，则式(4)可改写成:

式中:I0( )·表示第一类零阶修正贝塞尔函数，且在低信噪比下满足式I0( x) =1+x2/4。

利用文献［14］中的方法将式(8)展开，并去除所有可能的无关项，则Multi-h CPM 信号的关于载波频率和调制指数同步偏差的边缘联合似然函数可表示为:

式中:r(k)为数字离散化后的接收信号;Ts为接收端的采样周期，且N=T/Ts。

式中:

需要指出的是，当q(Δt，t)的值趋近于0 时，需通过求极限来求得F［Δt，t］的值。

对于Multi-h CPM 信号，由于其各个调制指数使用概率相等，对式(9)求的数学期望:

为了便于表述，令:

将式(14)代入式(13)，则Multi-h CPM 信号的载波频率的似然函数可表示为:

图1 给出了M=4，L=3，h=(4/16，5/16)升余弦成形的ARTM Tier2 信号的g(k)波形图。

图1 ARTM Tier2 信号的g(k)波形图Fig.1 Pulse of g(k)for ARTM Tier2

从图1 可以看出:g(k)是以k=0 奇对称的实函数，且Multi-h CPM 信号的g(k)是一个物理不可实现的非因果滤波器，把g(k)向右平移ND个采样点将其转变成物理可实现的因果滤波器，则g(k)被限制在0 ≤k ≤2ND 内。例如对于ARTM Tier2 信号，D 取4。通过向右平移g(k)，式(15)可改写为:

令式(17)等于零，则Multi-h CPM 信号的载波频率误差信号e［n］可表示为:

式中:n=floor(k/N)表示第n 个码元符号。

式中:γ 为迭代步长，且γ=4BLT/kd，BLT 表示归一化等效环路噪声带宽，kd为鉴频增益，即鉴频算法的S 曲线的斜率。

图2 为本文算法的ARTM Tier2 信号的鉴频S 曲线。

图2 ARTM Tier2 信号的鉴频S 曲线Fig.2 S-curves for ARTM Tier2

考虑到实际应用中可能会出现的多普频率及其变化率，可用e(n)作为误差信号控制一个二阶数字锁相环实现对其跟踪，则f^的迭代更新方程可以表示为:

式中:C1和C2是二阶数字锁相环的环路参数，其值将直接影响到环路的收敛时间及的估计精度，在实际中往往需要根据系统的边界条件做出合理的选取。

在时域上，载波频率体现为载波瞬时相位的累加求和，则载波瞬时相位可以表示为:

图3 给出了文中算法的实现框图。首先将经过下变频的接收信号r(k)一方面以采样速率Ts送入到上支路与冲激响应为g(k－ND)的滤波器中进行滤波和求共轭;另一方面经过ND 个采样周期延迟的下支路信号与上支路的输出进行两两相乘，并送入到误差提取模块中得到载波频率误差值e(n)，该误差值经过环路滤波实现对随机噪声的抑制和的迭代求解，然后将载波频率估计值送入到VCO 中生成载波瞬时相偏φ( k) ，最 后VCO 输 出 的e－jφ()k 与 接 收 信 号r( k) 两两相乘，实现对载波频率恢复。

图3 Multi-h CPM 信号的载波频率估计算法的实现框图Fig.3 Implementation scheme of non-data aided carrier frequency estimation for Multi-h CPM

3 性能分析及仿真

3.1 修正的Cramer-Rao 限

修正的Cramer-Rao 限(MCRB)是评估载波频率恢复算法性能的常用方法，它给出了载波频率估计算法性能的下限［7］。在AWGN 信道下，Multi-h CPM 信号关于载波频率f 的MCRB 限可表示为:

式中:s(·)表示Multi-h CPM 信号;If={α，θ，τ，ζ}表示需要通过求数学期望去掉的未知参数矢量。

对式(22)中的分母项求If的数学期望，可得:

且令归一化等效噪声带宽BLT=1/ ( 2L0)并代入式(23)，则Multi-h CPM 信号的关于载波频率f的MCRB 限可表示为:

3.2 性能仿真

利用Matlab 软件对文中算法进行仿真，Multi-h CPM 的调制参数根据不同的仿真方案选择，符号速率为5 M Baud/s，多普勒频率为1 MHz，多普勒频率一阶变化率为200 kHz/s，其中环路滤波器为二阶数字锁相环，过采样倍数N 取4，归一化等效环路噪声带宽BLT=5×10－3，信道为加性AWGN 信道，估计结果用归一化频率误差方差(Normalized frequency error varince square error，NVAR)衡量，即:

图4 给出了几种不同调制模式下的Multi-h CPM 信号的非数据辅助的载波频率估计的性能曲线和MCRB 限。从图4 中可以看出，对于不同的部分响应长度L、成形脉冲形状和调制指数的Multi-h CPM 信号，本文算法均有较好的仿真结果。但随着信噪比的增加，本文算法的估计性能却达到了一个错误平层，这主要是由本文算法的似然函数形式和CPM 信号自身特点引起的。一方面CPM 信号通过引入码间串扰(ISI)提高了其频谱效率;另一方面似然函数中的∑k1∑k2r(k1)×r*(k2)项相当于又引入了一项ISI，从而造成了一个固定干扰项。在低信噪比阶段，噪声是主要的干扰，而在中高信噪比阶段，ISI 变成主要的干扰，由于ISI 是固定存在的，不会随着信噪比的增大而减少，从而造成其估计性能几乎与信噪比无关。总体来看，该算法在符号信噪比为5 dB 时，三种信号的载波频率估计归一化频率误差方差能达到10－3数量级。在实际应用中其性能是较为优异的。

图4 不同调制模式下的Multi-h CPM 信号的载波频率估计性能Fig.4 Performance of proposed algorithm for several formats of Multi-h CPM

图5 给出了在不同的符号定时偏差、符号定时抖动方差和调制指数偏差时，ARTM Tier2 信号的载波频率估计性能的比较。从图5 中可以看出，与无符号定时偏差和调制指数同步偏差相比，当ζ=1，τ=0.5T 且定时抖动方差高达0.1 时，其载波频率估计的性能基本没有恶化，即本文算法对符号定时偏差、符号定时抖动方差和调制指数偏差不敏感。因此，在实际应用中可在符号定时同步之前用本文算法实现其载波频率的恢复，从而避免了对载波频率敏感的符号定时同步算法在载波频率影响下建立同步时间过长甚至失锁的问题。

图5 存在符号定时偏差和调制指数同步偏差时，ARTM Tier2 信号的载波频率估计性能Fig.5 Performance of proposed algorithm for ARTM Tier2，when existing symbol timing offset and modulation index timing offset

4 结束语

提出了一种适用于Multi-h CPM 信号的非数据辅助的载波频率估计新算法，它从单指数CPM信号的非数据辅助的载波频率估计算法出发，推导出了Multi-h CPM 信号的载波频率估计算法。然后为了有效地界定该文中算法的性能，推导给出了Multi-h CPM 信号的载波频率估计性能的MCRB 限，最后进行了计算机仿真验证。仿真结果表明:该算法同时适用于全响应和部分响应的Multi-h CPM 信号，载波频率估计的性能良好，且对符号定时偏差和调制指数同步偏差不敏感。且本文算法的实现相对简单，可以快速、准确地进行载波频率估计，适合于Multi-h CPM 信号的软件无线电系统。

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