从一题多解看导数在函数中的应用

贺水英

导数在函数中的应用是高考中的重点考查内容，最近五年都作为压轴题来考查，具有很高的区分度，所以难度很高。但不管题型如何变化，情境模型如何设置，导数在函数中的应用都可以归纳为考查：导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数求函数的极值与最值这三个方面。下面就2014年全国卷（Ⅱ）文科21题的多种解法来浅谈导数在函数中的应用。

2014年全国卷（Ⅱ）文科数学：

21题：已知函数，曲线在点处的切线与轴的交点横坐标为

（Ⅰ）求

（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。

解法一：（Ⅰ）

曲线在点处的切线方程为

由题设得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

设

由题设知      当时

在上单调递增，而，

在上有唯一实根

当时，令，则

当时，

当时，

在上没有实根

综上可知，在上有唯一实根。

即曲线与直线只有一个交点。

解法二：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

设

（1） 当，即时，恒成立

在上单调递增，而

图象在上与轴有唯一交点。

（2） 已知，當，即时

令

当时，在上单调递增。

在上与轴有唯一交点。

当时，  ;

在上与轴无交点。

综上在上与轴有唯一交点。

即曲线与直线只有一个交点。

解法三：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）设

（1） 当时，恒成立。即在与轴无交点。

（2） 当时，

恒成立  在上单调递增。

而

在上有唯一实根

综上可知，在上有唯一实根。

即时，曲线与直线有唯一交点。

本题的第Ⅰ问考查的是导数的几何意义，难度较小。

第Ⅱ问考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数求函数在定区间的最值。

方法一：构造函数求导后，根据题意发现时，恒成立。因而结合函数零点存在性定理求出两个函数值得出函数图像在上与轴有唯一交点;当考虑时，把分为和是否有交点的问题。因在时，恒成立。因而只需利用导数求出即可。

方法二：构造函数后，利用导数讨论函数的单调区间，这是导数在解决该类问题的常用方法，当时，因恒成立，因而只需找出一正一负两函数值即可。观察的表达式，易得 ，当考虑时，易得的图象呈现形的走势，因有第一种情况的讨论，从而把定义域划分为与两个区间，从而只需证明，即可。

方法三：解法三是解法一与解法二的结合。难度在于如何想到将进行因式分解。当把进行部分因式分解后，部分可以明显看出恒成立，所以问题就变成了，时与只有一个交点的问题，即用单调性结论函数零点的存在性定理即可证明。

不管何种方法和技巧来解决此题，问题的关键还是利用导数来确定函数的单调区间，以及用导数求函数的最值来证明恒成立问题。