覃仕霞, 罗圆
(1.成都信息工程学院应用数学学院, 成都610225;2.西南交通大学土木工程学院, 成都610031)
Robin型无穷多点边值问题正解的存在性
覃仕霞1, 罗圆2
(1.成都信息工程学院应用数学学院, 成都610225;2.西南交通大学土木工程学院, 成都610031)
常微分方程;Robin型无穷多点边值问题;等价积分方程;正解;不动点定理
常微分方程多点边值问题对应用数学、流体力学及弹性理论等领域的发展都具有非常重要的作用,关于其正解存在性的讨论,已成为该领域的一个研究热点[1-9]。2009年,马如云[10]等研究无穷多点边值问题:
并且得到了f在超线性或次线性增长条件下的正解存在性结果。2010年,LuoY[11]等又证明了f在更一般的条件下,上述二阶非线性无穷多点边值问题至少存在一个正解。但关于Robin型无穷多点边值问题可解性的讨论,还未见相关报道。
本文运用锥上不动点定理,讨论了Robin型无穷多点边值问题:
(1)
(2)
下正解的情况。通过借助线性方程
u″+a(t)u′+b(t)u=0
(3)
的特解构造新的Green函数,进而证明了问题(1)等价于一个简单积分方程,然后通过研究此积分方程讨论原边值问题是否存在正解。本文的主要结果改进和推广了Robin型边值问题以及无穷多点边值问题的相关结果。
本文假设:
的唯一正解。
(H2)f:[0,∞)->[0,∞)是连续函数,h∈C([0,1],[0,∞))并且存在x0∈(0,1),使得h(x0)>0。
(H3)a∈C[0,1],b∈C([0,1],(-∞,0))。
本文的主要工具是锥上不动点定理。设K是实Banach空间,并且
其中,0 引理2[13]假设(H3)成立,设φ1和φ2分别是线性问题 (4) 和 (5) 的解,则 (1)φ1为[0,1]上的不减函数,且φ1>0在[0,1]上。 (2)φ2为[0,1]上的严格减函数。 (3)φ2′(0) < 0。 并且问题(4)和(5)均有唯一解。 引理3[14]设x1(t),x2(t),…xn-1(t),xn(t)是方程 引理4设(H1)~(H3)成立,则问题(1)等价于积分方程 (6) 其中 (7) (8) (9) ρ= -φ1(0)φ2′(0) (10) 证明为了方便,令y(t)=h(t)f(u(t))。首先,设u(t)是方程(1)的一个解,验证它可以由(6)式表示。由引理2可知,线性方程u"+a(t)u′+b(t)u=0有两个线性无关的解φ1和φ2,因为 所以可以采用常系数变易法,令 再利用引理3得到 (11) 于是将方程(1)的通解表示为: (12) 其中,c1和c2为常数。 再把c1和c2代入(12)式并注意到u(1)=A,ρ=-W(0),化解即可得到 其次,验证由式(6)定义的u(t)是问题(1)的解。由于 对式两边分别对t求导,可推出 把u(t)、u′(t)和u″(t)的表达式以及等式(11)代入u″+a(t)u′+b(t)u中,并利用引理3有 u″+a(t)u′+b(t)u= A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+b(t)u(t))= A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+b(t)u(t))= -y(t)+A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+ b(t)u(t))=y(t) 验证u(t)满足问题(1)的边界条件。由于 那么 综上所述,(6)式定义的u(t)是问题(1)的解,证毕。 (13) 令 由引理2知,φ1(t)是a≤t≤b上的不减函数,φ2(t)是a≤t≤b上的严格减函数,所以有 令M=min{M0,φ1(a)},那么 G(t,s)≥MG(s,s),a≤t≤b,0≤s≤1 (14) 因此,构造由非负函数构成的锥 (15) 定义算子T:C[0,1]→C[0,1]: (16) 由引理4,边值问题(1)有解当且仅当T在[0,1]上至少有一个不动点。 引理5(ⅰ)TK⊂K;(ⅱ)T是全连续算子。 证明引理5(ⅰ)由式(13)和引理2可得,G(t,s)≤G(s,s)。因为 所以, 又由式(14)可知 故,Tu∈K并且TK⊂K。 (ⅱ)不难验证T:K→K是全连续的,这里不再赘述。 定理1如果(H1)、(H2)和(H3)成立,并且f满足下面两个条件之一 其中 则,问题(1)至少有一个正解。 证明由引理4,只需证明T在[0,1]上有一个不动点,再根据引理5,T:K→K是全连续的。证明T满足引理1的其余部分: (17) 令φ(t)=1,∀t∈[0,1],那么φ∈∂K1。证明 u≠Tu+λφ,u∈∂KR,λ>0 (18) 假设式(18)不成立,那么存在λ0使得u0=Tu0+λ0φ。令δ=min{u0(t):a≤t≤b},由式(17)可知,δ≥η,并且 即δ≥δ+λ0,矛盾。 u≠Tu+λφ,u∈∂KR,λ>0 假设该式不成立,那么存在λ0和u0∈∂KR使得u0=Tu0+λ0φ。令δ=min{u0(t):a≤t≤b},则可以推出 u0=Tu0+λ0φ= 即δ≥δ+λ0,矛盾。证毕。 [1] Ming H H.Problem of the periodic welding of anisotropic elastic plane with different materials[J].Applied Mathematics and Mechanics,1999,20(7):761-766. [2] Zhan N M,Hong Y M,Dong T L.Application of two-dimensional boundary element method to resonant frequency problem of accelerator cavity[J].Atomic Energy Scinece and Technology,2004,38(1):10-13. [3] Zhang T.A finite element method for pricing American option in bonds[J].Mathematica Numerica Sinica,2004,26(3):277-282. [4] 高洁,周玮.一类非线性分数阶微分方程边值解的存在性和唯一性[J].应用数学学报,2014,37(3):470-486. [5] 陆心怡,张兴秋,王林.一类分数阶微分方程m点边值问题正解的存在性[J].系统科学与数学,2014,34(2):218-230. [6] 林红绪,杨李凡,胡雨欣.一类带不连续源项的二阶半线性奇摄动Robin型边值问题[J].应用数学,2015,28(1):47-56. [7] Feng W,Webb J R.Solvability of m-point boundary value problems with non-linear growth[J].J.Math.Anal.Appl,1997,212:467-480. [8] 许丁,谢公南.基于不动点方法求解非线性Falkner-Skan流动方程[J].应用数学和力学,2015,36(1):78-86. [9] Gupta C P,Trofimchuk S I.Sovability of a mult-point boundary value problem and related a priori estimates[J].Canada.Appl.Math.Quart,1998,6(1):45-60. [10] 马如云,范虹霞,韩晓玲.二阶常微分方程无穷多点边值问题的正解[J].数学物理学报,2009,29A(3):699-706. [11] Luo Y,Wu Z G,Du C.On the positive solutions of some-point boundary value problems[J].Nonlinear Analysis Forum,2010,15:121-128. [12] 郭大均.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985. [13] 马如云.一类非线性m-点边值问题正解的存在性[J].数学学报,2003,46:279-292. [14] 周义仓,勒祯,秦军林.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003. Beingness of the Positive Solutions for ∞-Point Boundary Value Problems of Robin Type QINShixia1,LUOYuan2 (1.College of Applied Mathematics, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China; 2.School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China) The existence of positive solutions for the second order ∞-point boundary value problems of Robin type was discussed through using the fixed point theorem in cone. Firstly, the special solution of a linear equation was used to construct a new Green function, and then, the differential equation of the ∞-point boundary value problems of Robin type was proved that it is equivalent to a simple integral equation. Finally, the integral equation was studied through using the fixed point theorem and the ∞-point boundary value problems of Robin type mentioned above was derived that there at least exists one positive solution if the condition of 0≤f+0 ordinary differential equation; ∞-point boundary value problems of Robin type; equivalence integral equation; positive solutions; fixed-point theory 2015-05-14 国家自然科学基金项目(11171046) 覃仕霞(1985-),女,湖南常德人,助教,硕士,主要从事应用数学方面的研究,(E-mail)shixiaq@cuit.edu.cn 1673-1549(2015)03-0090-06 10.11863/j.suse.2015.03.19 O29 A2 主要结果