Robin型无穷多点边值问题正解的存在性

覃仕霞， 罗圆

(1.成都信息工程学院应用数学学院， 成都610225；2.西南交通大学土木工程学院， 成都610031)



Robin型无穷多点边值问题正解的存在性

覃仕霞1， 罗圆2

(1.成都信息工程学院应用数学学院， 成都610225；2.西南交通大学土木工程学院， 成都610031)

常微分方程；Robin型无穷多点边值问题；等价积分方程；正解；不动点定理

引言

常微分方程多点边值问题对应用数学、流体力学及弹性理论等领域的发展都具有非常重要的作用，关于其正解存在性的讨论，已成为该领域的一个研究热点[1-9]。2009年，马如云[10]等研究无穷多点边值问题：

并且得到了f在超线性或次线性增长条件下的正解存在性结果。2010年，LuoY[11]等又证明了f在更一般的条件下，上述二阶非线性无穷多点边值问题至少存在一个正解。但关于Robin型无穷多点边值问题可解性的讨论，还未见相关报道。

本文运用锥上不动点定理，讨论了Robin型无穷多点边值问题：

(1)

(2)

下正解的情况。通过借助线性方程

u″+a(t)u′+b(t)u=0

(3)

的特解构造新的Green函数，进而证明了问题(1)等价于一个简单积分方程，然后通过研究此积分方程讨论原边值问题是否存在正解。本文的主要结果改进和推广了Robin型边值问题以及无穷多点边值问题的相关结果。

1 相关引理

本文假设：

的唯一正解。

(H2)f:[0,∞)->[0,∞)是连续函数，h∈C([0,1],[0,∞))并且存在x0∈(0,1)，使得h(x0)>0。

(H3)a∈C[0,1],b∈C([0,1],(-∞,0))。

本文的主要工具是锥上不动点定理。设K是实Banach空间，并且

其中，0

引理2[13]假设(H3)成立，设φ1和φ2分别是线性问题

(4)

和

(5)

的解，则

(1)φ1为[0,1]上的不减函数，且φ1>0在[0,1]上。

(2)φ2为[0,1]上的严格减函数。

(3)φ2′(0) < 0。

并且问题(4)和(5)均有唯一解。

引理3[14]设x1(t),x2(t),…xn-1(t),xn(t)是方程

引理4设(H1)～(H3)成立，则问题(1)等价于积分方程

(6)

其中

(7)

(8)

(9)

ρ= -φ1(0)φ2′(0)

(10)

证明为了方便，令y(t)=h(t)f(u(t))。首先，设u(t)是方程(1)的一个解，验证它可以由(6)式表示。由引理2可知，线性方程u"+a(t)u′+b(t)u=0有两个线性无关的解φ1和φ2，因为

所以可以采用常系数变易法，令

再利用引理3得到

(11)

于是将方程(1)的通解表示为：

(12)

其中，c1和c2为常数。

再把c1和c2代入(12)式并注意到u(1)=A,ρ=-W(0)，化解即可得到

其次，验证由式(6)定义的u(t)是问题(1)的解。由于

对式两边分别对t求导，可推出

把u(t)、u′(t)和u″(t)的表达式以及等式(11)代入u″+a(t)u′+b(t)u中，并利用引理3有

u″+a(t)u′+b(t)u=

A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+b(t)u(t))=

A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+b(t)u(t))=

-y(t)+A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+

b(t)u(t))=y(t)

验证u(t)满足问题(1)的边界条件。由于

那么

综上所述，(6)式定义的u(t)是问题(1)的解，证毕。

(13)

令

由引理2知，φ1(t)是a≤t≤b上的不减函数，φ2(t)是a≤t≤b上的严格减函数，所以有

令M=min{M0,φ1(a)}，那么

G(t,s)≥MG(s,s),a≤t≤b,0≤s≤1

(14)

因此，构造由非负函数构成的锥

(15)

定义算子T:C[0,1]→C[0,1]：

(16)

由引理4，边值问题(1)有解当且仅当T在[0,1]上至少有一个不动点。

引理5(ⅰ)TK⊂K；(ⅱ)T是全连续算子。

证明引理5(ⅰ)由式(13)和引理2可得，G(t,s)≤G(s,s)。因为

所以，

又由式(14)可知

故，Tu∈K并且TK⊂K。

(ⅱ)不难验证T:K→K是全连续的，这里不再赘述。

2 主要结果

定理1如果(H1)、(H2)和(H3)成立，并且f满足下面两个条件之一

其中

则，问题(1)至少有一个正解。

证明由引理4，只需证明T在[0,1]上有一个不动点，再根据引理5，T:K→K是全连续的。证明T满足引理1的其余部分：

(17)

令φ(t)=1,∀t∈[0,1]，那么φ∈∂K1。证明

u≠Tu+λφ,u∈∂KR,λ>0

(18)

假设式(18)不成立，那么存在λ0使得u0=Tu0+λ0φ。令δ=min{u0(t):a≤t≤b}，由式(17)可知，δ≥η，并且

即δ≥δ+λ0，矛盾。

u≠Tu+λφ,u∈∂KR,λ>0

假设该式不成立，那么存在λ0和u0∈∂KR使得u0=Tu0+λ0φ。令δ=min{u0(t):a≤t≤b}，则可以推出

u0=Tu0+λ0φ=

即δ≥δ+λ0，矛盾。证毕。

[1] Ming H H.Problem of the periodic welding of anisotropic elastic plane with different materials[J].Applied Mathematics and Mechanics,1999,20(7):761-766.

[2] Zhan N M,Hong Y M,Dong T L.Application of two-dimensional boundary element method to resonant frequency problem of accelerator cavity[J].Atomic Energy Scinece and Technology,2004,38(1):10-13.

[3] Zhang T.A finite element method for pricing American option in bonds[J].Mathematica Numerica Sinica,2004,26(3):277-282.

[4] 高洁,周玮.一类非线性分数阶微分方程边值解的存在性和唯一性[J].应用数学学报,2014,37(3):470-486.

[5] 陆心怡,张兴秋,王林.一类分数阶微分方程m点边值问题正解的存在性[J].系统科学与数学,2014,34(2):218-230.

[6] 林红绪,杨李凡,胡雨欣.一类带不连续源项的二阶半线性奇摄动Robin型边值问题[J].应用数学,2015,28(1):47-56.

[7] Feng W,Webb J R.Solvability of m-point boundary value problems with non-linear growth[J].J.Math.Anal.Appl,1997,212:467-480.

[8] 许丁,谢公南.基于不动点方法求解非线性Falkner-Skan流动方程[J].应用数学和力学,2015,36(1):78-86.

[9] Gupta C P,Trofimchuk S I.Sovability of a mult-point boundary value problem and related a priori estimates[J].Canada.Appl.Math.Quart,1998,6(1):45-60.

[10] 马如云,范虹霞,韩晓玲.二阶常微分方程无穷多点边值问题的正解[J].数学物理学报,2009,29A(3):699-706.

[11] Luo Y,Wu Z G,Du C.On the positive solutions of some-point boundary value problems[J].Nonlinear Analysis Forum,2010,15:121-128.

[12] 郭大均.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985.

[13] 马如云.一类非线性m-点边值问题正解的存在性[J].数学学报,2003,46:279-292.

[14] 周义仓,勒祯,秦军林.常微分方程及其应用[M].北京:科学出版社,2003.

Beingness of the Positive Solutions for ∞-Point Boundary Value Problems of Robin Type

QINShixia1,LUOYuan2

(1.College of Applied Mathematics, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China; 2.School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The existence of positive solutions for the second order ∞-point boundary value problems of Robin type was discussed through using the fixed point theorem in cone. Firstly, the special solution of a linear equation was used to construct a new Green function, and then, the differential equation of the ∞-point boundary value problems of Robin type was proved that it is equivalent to a simple integral equation. Finally, the integral equation was studied through using the fixed point theorem and the ∞-point boundary value problems of Robin type mentioned above was derived that there at least exists one positive solution if the condition of 0≤f+0

ordinary differential equation; ∞-point boundary value problems of Robin type; equivalence integral equation; positive solutions; fixed-point theory

2015-05-14

国家自然科学基金项目(11171046)

覃仕霞(1985-)，女，湖南常德人，助教，硕士，主要从事应用数学方面的研究，(E-mail)shixiaq@cuit.edu.cn

1673-1549(2015)03-0090-06

10.11863/j.suse.2015.03.19

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