让学生自己生长出新知识

康仕平

我在学校分管教育改革工作，还任教两个毕业班的数学课，兼任一个班的班主任，竟能轻松取得良好的教学效果，这在过去想都不敢想。其中最大的助力就是生本理念与策略。

寻找数学教学的“主根”

我们的数学课程和教材，原本是为教师的教而设计的，即使是为学习者的学习设计，也不可避免地要将丰富的多维的事物，转变为平面读物——教材。许多老师在研读教材时，注意力放在大题目、大归类、大演练上，唯独缺乏对人的基本素养是如何形成的思考。于是，在教学中教师会结合大量配套的解析性的参考书，纷繁细致，条分缕析，而为了驾驭这些材料，又编制许多学案或导学案代替了学生的思维过程，一切都给学生安排好了，他们失去了原生态事物的生动气息和情怀。如何让真实的学习发生在真实的学生身上？

2014年，我上了一节观摩课——《一元二次方程》（八年级学生上九年级课程）。如果按照教材的编写顺序，一定是先认识什么是一元二次方程，再依次按照直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法讲如何解一元二次方程，尤其强调每种方法的步骤。我们按照教材的顺序用十个课时讲解、练习、测试，学生是能够答好一套单元测试题的。但是，学生被动地接受着我们给予他们的死知识，消极地等待着我们给予他们的死方法，模仿着例题习题的解法，他们失去了学习的乐趣，思维发展、能力提升、情感涵育更是无从谈起。在郭教授的指导下，我对课程和教学进行了大胆的整合与重构：

从前置小研究“x2=4”入手，学生用不同的方法求出了x的值。有的用了平方的意义（两个相同的数相乘等于9，这个数可以是3或-3），有的用了平方根的意义（一个数的平方等于9，這个数就是9的平方根，9的平方根为3或-3），还有的用了平方差公式（方程两边同时减去4，写成（x-2）（x+2）=0）……然后我请大家将x变成x的单项式或多项式，自己出题，小组交流，各组推荐题目，全班交流分享。

课堂上，学生们相互讨论、争辩，甚至是争吵，虽然不知道配方法、直接开平方法、因式分解法，但他们自己已不知不觉发现、运用了这些方法。这节课，也许没有一步一步照本宣科那样有层次，但学生喜欢这样的课堂，他们不再循规蹈矩地在一课一节中煎熬和等待，他们人人都能在“前置小研究”中崭露头角，这恰好是提高数学兴趣和培养数学思维的动力和源泉。

听课的老师被打动，由衷感叹：每一科都有“x2=4”，就看我们会不会找到埋在地下的这一条主根——“x2=4”，如果找到了，我们利用它，再依靠学生的求知欲、好奇心、创造力，就会使整棵树根深叶茂。

但在这里，我们也发现了学生探究过程中的诸多问题：变形成“（x+2）（x-2）=0”后是“x+2=0且x-2=0”还是“x+2=0或x-2=0”，“（x-4）2=0”的解是“x=4”还是“x1=x2=4”等，对这些问题课堂上出现了激烈争论。郭教授告诉我们：“学生出现的这些问题是真实的、正常的，他们在蓬麻中生长，有的快一些，有的慢一些，我们不能要求他们太整齐，太整齐就不能蓬勃发展了。”

这一年中，我对数学教材进行了一系列的整合，例如：《一元一次方程》与《二元一次方程》、《二次函数》与《一元二次方程》、《全等三角形》与《相似三角形》等。除此之外，我也开展了系列的数学实践活动：数据收集与整理、大量重复实验求概率、丈量土地求面积、学生自行命题探求新问题、进行相关的专题研究并撰写小论文等，让学生感受生活中的数学，并用心去寻找每一个专题中关键的关键，然后设计成简单、根本、开放的“前置小研究”。例如，八年级下学期的《中点是四边形》，我设计了两个“前置小研究”：1.任意画一个四边形，顺次连接四边的中点，你发现了什么？2.根据你的发现，自编一题，小组交流。

我留给学生大量的时间去感受、去探究、去活动，学生们展现出了惊人的智慧和灵性。我们学校近几年的数学中考出现了一个怪象：最高分在近三年中有两年出现在后进班上。缘何？在调查后我们发现，后进班老师设计的题目比较简单，布置的前置作业相对要少一些，这就给了他们大量的思考空间和活动空间。

把“教”最大化转化为“学”

我班在学《相似三角形》时，我用多媒体呈现两个全等三角形，然后用艺术的效果将其中一个三角形无限地放大或缩小，留下一个问题：“这样的图形叫什么？满足什么样的条件就是这样的图形？请自编一题，小组交流交流。”

我留下两节课，在这两节上，我观察到：各小组阅读教材、查阅资料、交流观点、整理笔记、自编题目，全员参与、全力参与、全程参与，一片繁忙的景象。在后来的交流课上，学生们不但能用研究全等条件的方法找出了相似的判定，还能举出反例说明为什么“SSA”“SS”是错误的。接着我又画出了一个直角三角形和斜边上的高，请问：在这个图形中，有相似三角形吗？如果有，你可以得出新的结论吗？同学们个个生龙活虎，竟然探究出了射影定理的三个结论（当然，他们不知道这就是射影定理）。我又画出了相交弦定理、切割线定理的图形，让学生去思考……我从台前退向幕后，偶尔煽煽风、点点火，关键处点拨点拨、提升提升、激励激励。

该专题学生的单元测试优生率和及格率大幅提高。在专题会议上，同学们讲道：“以前老师讲得太多了，我们当时大部分记住了，课后遗忘了很多。”“我们小组主动去观察、发现、研究、交流，并讲给别人听，人人都是课堂的主人。”“互相出题、相互质疑、小组评研，我们对这种形式很感兴趣。”

生本数学课堂追求的不是知识的传授，而是思维潜能的开发、素质的全面提高、水到渠成的成绩进步，所以数学老师必须把“教”最大限度转化为“学”。事实也证明，这样的课堂能让学生在课堂表现、学业成绩中绽放光彩：学生在探究特殊的三角函数值时居然作图找到了Sin15°的值；有个学生问我“为什么两条直线垂直时，他们的k的积总是-1？”；上学期期末考试我们班优秀率在全年级八个班中占绝对优势；一个成绩落后的学生期中考试数学成绩竟然是班级第二名；这学期新接一个基础不好的班级在短短两个月与同类层次班级缩短十多分，且对数学的学习热情空前高涨。

这些“奇迹”让我不得不相信和依靠学生，把生命拥有的一切和可联系的一切，都看成教育教学最重要的资源，处处去凸显学生学习的生长点、思维点、创造点，彻底实现由“师本教育”向“生本教育”转变。

在有价值的问题中尽情“玩数学”

问题是数学的心脏，而数学问题解决则是数学思维的核心，发现和提出一个有价值的数学问题就是数学创新。

传统教学中，学生总是认为：老师没有讲过的题目做不出来是很正常的。但在生本实验班上，同学们总是认为一套题不遇到几道没有见过的题目反而是没有意思的。他们面对陌生题目跃跃欲试，整个身心处于兴奋状态。所以在平时的学习中我们要反对学生“看”数学和“听”数学，更反对死记硬背地看课本，反对成为知识的奴隶。

课本中的定理、定义、判定、例题、习题我会设计成一个个有趣的问题串，学生的自编题我会巧妙地改变条件或结论，学生在经历一次次观察、思考、比较、归纳的过程中提高了学习兴趣，培养了思维能力，运用了学科方法，增强了团队意识，磨炼了克服困难的意志，从而提高课堂的深度与广度，比起那种干瘪的“预习—讲解—测试”三段式教学有趣得多。

例如，我讲《二次函数》时设计了一系列的问题串：请大家在平面直角坐标系中任意画一条抛物线，试问：1.a、b、c的符号。2.求a+b+c 、a-b+c的符号。3.标出与坐标轴的交点坐标，求解析式。4.回答抛物线的增减性。5.求抛物线与X轴两个交点與顶点围成三角形的面积。6.求将抛物线向左移动3个单位、向下移动5个单位后的解析式。7.将抛物线沿x轴翻折，画出图像并求解析式。8.请自己提出一个问题小组交换求解……学生面对这些问题，没有了例题的帮助，只好努力思考、用心钻研、小组合作、全班质疑。在这个过程中，他们生长出了很多新的知识，潜能得到进一步开发，“学数学”变成了“做数学”“玩数学”。这种课程的再造，实际上是还给了学生一片数学蓝天。

把考试作为对知识的再次学习和研究

近两年，我有幸到了一些生本基地学校交流，发现有的老师误认为生本教育要么就是一张导学案让学生在小组交流交流、到台前展示展示、课堂上热闹热闹；要么就是“两张皮”——有人听课学生表演，无人听课节节过关、天天过关、周周过关、月月过关，反复测验提高应试技巧、应试水平。我个人认为，产生这些现象的根源是老师低估了学生的学习能力和研究能力，变相地为考点、知识点、教师的主观意志所“绑架”。

课程与教学的生本式再造，要求教师必须转变对学生的评价模式，摒弃应试的框架。以评研取代考试，可以起到保护学生和激扬学生生命活力的作用。

在对学生的考查中，我所教的班去掉了考试的控制性，保留了考试的评价和研究功能。评研就是让学生用研究的态度对待考试，把考试作为对知识的再次学习和研究的过程。我的具体做法是：一个知识单元学完后，先由学科教研组的老师设计试题让学生做，然后小组内学生互对答案，进行研讨，再经历全班交流、教师点拨环节之后，学生自己编题考小组其他成员。学生一般是将错题编制成题目，希望把同学考倒。最后，老师根据学生编的考题再编试卷让学生做。如此一来，考试就是对知识的再次学习和研究。

我校把关注短期指标的课堂聚焦到关注学生的长期发展，不以短期的考试成绩评价年级和实验教师。这些，都是顺利进行课程与教学再造的关键外部条件。