谈解题后的反省

罗平

摘 要：完成一个数学问题的解答后，对解答的过程和结果进行评价和反省。反省问题的存在性、反省結果与题设的协调性、反省问题的完备性、反省结果的准确性、反省问题的可逆性。

关键词：反省；过程；结果

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-209-01

常言道：“时时反省，让人知明而行无过。”完成一个数学问题的解答后，对解答的过程和结果进行评价和反省，是解题的一个重要环节。它对于解题的准确性，发展学生的逆向思维能力，培养严谨治学的科学态度和思考问题的周密性等都有极其重要的意义。

一、 反省问题的存在性

在解题中常常看到：通过看似合理的运算过程，求出的某一数学问题的结果未必存在。因而在解决一个数学问题时必须通过细致反省，才能验证问题的存在性。

例1：求

解： = =0

若对此题不进行反省，就极易忽视问题的存在性。

正确解是：当取 时，则：

= ，而取 ，则：

，所以 不存在

二、 反省结果与题设的协调性

学生往往求出结果后，就认为任务已经完成，不再去推敲、检验，这常常是导致学生失分的重要因素。若教师恰当引导，让学生进行反省，效果好得多。

例2：解方程：

解：两边平方得： 所以 ，则 ，

所以原方程的解集为：

以上解题似乎已求得圆满的结果，但是如果我们仔细地检查一下，就不难发现 是增根，所以原方程的解集为 ，事实上，当把方程 两边平方变为 ，由后者解出的x除了 的解之外，还包括了 ，即 所得的解是增根。例中所增根 就是 的解。

三、 反省问题的完备性

某些数学问题往往比较复杂，得出结果后，若不经过反省，则会导致以偏概全等错误。

例3：

解：

=

如果对此题计算不反省，则导致以偏概全错误，该题计算忽视了算术根概念：

正确解答是：

又

由于

故 不存在

四、 反省结果的准确性

解决一个数学问题后，采取一些合理科学的方法进行反省，对于减少失误，提高解答的正确性起到积极作用。如在求不定积分时，将结果求导看是否等于被积函数，就会发现自己的答案是否正确，这样学生不但减少了失分的现象，而且有利于培养学生的严谨治学的科学态度。

五、 反省问题的可逆性解决一个数学问题，通过一些推理过程来展现。对于推理过程具有充要条件关系的特征时，解题时要对解答过程进行检查，是否每一步都可逆，这样既可培养学生的逆向思维能力，也可提高解答过程的准确性。

例如： ，须要求初学者求出 的微分，看能否还原，即作逆向检查，这样做，使运算过程准确无误。