分类讨论思想在初中数学中的几个常见运用

涂从秋

摘 要：近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”数学思想的几个常见运用没有复习到位。

关键词：分类讨论；初中数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-119-03

分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论思想。分类讨论思想的实质：将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件去完成。分类讨论思想的原则：分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简，讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。

一般情况下，当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应用分类讨论的思想来解决问题。

近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是在平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”数学思想的几个常见运用没有复习到位。下面就一些典型试题中涉及“分类讨论思想”的问题，分析几个常见运用，以加深读者对这几个常见运用的理解。

一、化简含绝对值的代数式

例1已知 是数轴上的两个数（如图），化简：|a-b|-|a+b|+|a|-|b.

分析：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。所以只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。去绝对值符号的关键是要搞清楚绝对值符号里面结果的情况，严格用公式 来解决问题。

解：由图可得a-b<0，a+b<，a<0，b<0.|a-b|=-（a-b）=b-a

|a+b|=-（a+b）=-a-b.|a|=-a，|b|=b.

|a-b|-|a+b|+|a|-|b|=（b-a）-（-a-b）+（-a）-b=b-a

例2 代数式 的所有可能的值有（ ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个

分析：根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论。

（1）当a>0，b>0时，ab>0，原式等于3；（2）当a>0，b<0时，原式等于-1；（3）当a<0，b>0时，ab<0，原式等于-1；（4）当a<0，b<0时，ab>0，原式等于-1。因此，代数式所有可能的值为3、-1。答案：A。

解决含参数的函数表达式有关问题

例1一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的 值为1≤y≤9，则kb的值是（ ）

A. 14 B. -6 C. -4或21 D. -6或14

分析：题目中给出了一次函数图象的一部分（线段），当x=-3时，y可以取1或9，因此应对参数k分两种情况讨论，当K>0时，线段两端点为（-3，1）和（1，9），则k=2，b=7，kb=14；当k<0时，線段两端点为（-3，9）和（1，1），则K=-2，b=3，kb=-6。答案：D.

例2函数y=mx﹣a与y=a/x（a≠0，m≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

分析：分别根据一次函数和反比例函数图象的特点进行逐一分析即可，由于a的符号不确定，所以需分类讨论.

解：A、由一次函数y=mx﹣a的图象与y轴的正半轴相交可知-a>0，即a<0，与y=a/x（x≠0）的图象a>0相矛盾，错误；B、由一次函数y=mx﹣a的图象与y轴的正半轴相交可知﹣a>0，即a<0，与y=a/x（x≠0）的图象a>0相矛盾，错误；C、由一次函数y=mx﹣a的图象与y轴的负半轴相交可知﹣a<0，即a>0，与y=a/x（x≠0）的图象a<0相矛盾，错误；D、由一次函数y=mx﹣a的图象可知a<0，与y=a/x（x≠0）的图象a<0一致，正确.

故选D.（本题考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中b及y=k2/x中k2的取值）

2、由于图形的变化，图形位置不确定或形状不确定引起几何问题结果有多种可能或未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况

例1 有一块梯形菜地，上底、下底不能直接测量，但可测量梯形的高为12m，梯形的两条对角线长分别为15m和20m，试求这块地的面积.

分析：问题可转化为：在梯形ABCD中，AB∥CD，AE，BF是高，AE=BF=12，BD=15，AC=20. 首先，容易知道，AB=EF.由勾股定理可得，DF=9，EC=16.

在图（1）中，DF+EC=DE+FC+2EF=DE+FC+EF+AB=DC+AB=25，此时，梯形面积为25×12÷2=150.

在图（2）中，EC-DF=EF+DC=AB+DC=16-9=7，此时，梯形面积为7×12÷2=42. 答案：150 或42 .

例2如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM= 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。

分析：由勾股定理可得AE=5 .

当△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似时，DM可以与BE是对应边，也可以与AB是对应边，所以本题分两种情况：

（1）当DM与BE是对应边时，DMEB=MNAE ，即DM=55

（2）当DM与AB是对应边时，即DM2=15，DM= .

答案：DM的长是.55 或

四、代数与几何分类情况的综合运用

例1 （威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB=11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0）.（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

分析：在两圆相切的时候，可能是外切，也可能是内切，所以需要对两圆相切进行讨论.

解：（1）当0≤t≤5.5时，函数表达式为d=11-2t；

当t>5.5时，函数表达式为d=2t -11.

（2）两圆相切可分为如下四种情况：

①当两圆第一次外切，由题意，可得11-2t=1+1+t，t=3；

②当两圆第一次内切，由题意，可得11-2t=1+t-1，t=113；

③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11=1+t-1，t=11；

④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11=1+t+1，t=13.

所以，点A出发后3秒、11/3秒、11秒、13秒两圆相切.

例2 （上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点.

（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；

（3）连接BD，交线段A数关系M于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长.

分析：建立函实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示。要求线段的长，可假设线段的长，找到等量关系，列出方程求解。题中遇到“如果以A、N、D为顶点的三角形与 相似”，一定要注意分类讨论。

解：（1）取 中点H，连接MH.

∵M为DE的中点∵MH‖BE，?MH=?（AD+BE）=?×（4+X）=?X+2

又∵AB⊥B∴MH⊥AB.S△ABE=?AB.MH=MH ，得y=?x+2（x>0）

由已知根据图形位置情况得DE=（x-4）2+22 或（4-x）2+22

∵以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切

∴MH=?AB+?DE，?（X+4）=?[2+（4-x）2+22 ]解得X=?，即线段BE的长为?；

（3）由已知，以A、N、D为顶点的三角形与△BME

相似，又易证得∠DAM=∠EBM.由此可知，另一對对应角相等有两种情况：

①∠DAN=∠BEM；； ② ∠ADN″=∠BM″E″.

①当∠ADN=∠BME 时，∵AD‖BE ∴∠ADN=∠DBE.∴∠DBE=∠BEM，∴DB=DE，易得BE=2AD.得BE=8；

②当∠ADN″=∠BM″E″时，∵AD‖BE，∴∠ADN=∠DBE .∴∠DBE″=∠BM″E″ ，又∠DE″B=∠BE″M″，∴△BME″∽△BM″E ″.即DE″/BE″=BE″/M″E″，即BE″2=DE″*M″E″，得.X2=?（4-x）2+22 ·（4-x）2+22 解得x1=2，x2=-10（舍）.即线段BE″的长为2.综上所述，所求线段BE的长为8或2.

例3 已知一次函数y=-√3/3+3√3与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。

分析：本题中△PAB由于P点位置不确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标（0，3√3），A点坐标（9，0）。设P点坐标为（x，0），利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点坐标有四解，分别为（-9，0）、（3，0）、（9+6√3，0）、（9-6√3，0）。答案：（-9，0）、（3，0）、（9+6√3，0）、（9-6√3，0）（解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。从而需对不同位置分别求其结果，否则会漏解。）

综上，分类讨论思想的四个常见运用，我们可以看出：分类讨论的思想在解题中一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。我们应该重视分类讨论思想在以上四个方面的运用。