三阶常微分方程组三点边值问题正解的存在性

何希萍（甘肃广播电视大学 理工学院, 甘肃 兰州 730030）

三阶常微分方程组三点边值问题正解的存在性

何希萍
（甘肃广播电视大学 理工学院, 甘肃 兰州 730030）

研究一类非线性三阶常微分方程组三点边值问题,运用Krasnosel ’skii不动点定理讨论了该问题多重正解的存在性，并举例说明.

三阶方程组；三点边值问题；正解；存在性；不动点

1 引言及预备知识

近来，常微分方程组边值问题解的存在性在数学及其应用工程科学领域引起人们极大关注[1-5]。本文考虑下列三阶常微分方程组三点边值问题。

（1.1）

这里f,g∈C（t1,t3）×R+,R+）,f（t,0）≡0,g（t,0）≡0,y≥0,δ≥0. 通过相应Green函数的性质，并定义合适的锥，借助于Krasnoselskii不动点定理证明边值问题（1.1）解的存在性。运用另一个多重的不动点定理得到边值问题（1.1）的多个正解的存在性。

设G（t,s）表示边值问题（1.1）相应的Green函数，则由文[6]知,

（1.2）

并且对Green函数G（t,s），有下列结果：

k（t）G（t2,s）≤G（t,s）≤G（t2,s）,对（t,s）∈[t1,t3]×[t1,t3〗

（1.3）

t1t3-t2。

显然（u1,u2）∈C2[t2,t3]×C2[t1,t3]为边值问题（1.1）的解，当且仅当（u1,u2）∈C[t1,t3]×C[t1,t3]是下列积分方程组的解，

（1.4）

非线性积分方程组（1.5）可化为下列非线性积分方程：

（1.5）

为了证明我们的主要结果，以下不动点定理是必要的。

（i）‖Su‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω1,‖Su‖≥‖u‖,∀u∈p∩∂Ω2,或

（ii）‖Su‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω1,‖Su‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2。

‖Su‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω1,或

‖Su‖≤‖u‖,Su≠u,∀u∈P∩∂Ω2,‖Su‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω3。

这里h∈[0,t3-t2],且

（1.6）

显然P上B中的锥，定义算子A:P→B为

（1.7）

引理1.3[9]若算子A由 （1.8） 定义，则A是全连续算子，且A（P）⊂P。

证明 由引理1.1和f,g的连续性知，对u∈P，有Au∈B，且t∈[t1,t3]，

则有，

因此，A（P）⊂P。由于G（t,s），f（t,u），g（t,u）是连续的，可知算子A是全连续的。证毕。

2 主要结果

为了方便起见，我们列出如下假设

定理 2.1 设条件（H1）和（H2） 成立，则边值问题（1.1）至少有一个正解

（u1,u2）∈C2（[t1,t3],R+）×C2[t1,t3],R+）,且u1（t）>0,u2（t）>0。

证明：由条件（H1）可知，存在实数N1∈（t1,t3）,使得对（t,u）∈[t1,t3]×（0,N1）,有

对使得

（2.1）

另一方面，由条件（H2）可知，存在四个正数q1,q2,C1和C2，使得

f（t,u）≥q1u-C1,（t,u）∈[t1,t3]×R+,

g（t,u）≥q2u-C2,（t,u）∈[t1,t3]×R+,

从而‖Au‖≥Au（t2-ε）≥‖u‖,‖u‖→∞.

令Ω2={u∈B,‖u‖0足够大，有

‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2.

（2.2）

定理 2.2 设条件（H3）和（H4） 成立，则边值问题（1.1）至少有 一个正解

（u1,u2）∈C2（[t1,t3],R+×C2（[t1,t3],R+）,且u2（t）>0,u2（t）>0.

令Ω3={u∈B,‖u‖

‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω3.

（2.3）

另一方面，由条件（H4）可知，存在三个常数p，D1和D2,使得

f（t,u）≤pu+D1,（t,u）∈[t1.t3]×R+,

g（t,u）≤pu+D2,（t,u）∈[t1,t3]×R+,

从而Au（t）≤‖u‖,‖u‖→∞。

令Ω4={u∈B,‖u‖0足够大，有

‖Au‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂Ω4.

（2.4）

定理2.3 若条件（H2）和（H3）和（2.5） 成立，假设f（t,u）,g（t,u）关于u是单增的函数，且存在常数M>0,使得

（2.5）

则边值问题（1.1）至少有两个正解

（u1,u2）,（v1,v2）∈C2（[t1,t3],R+）×C2（[t1,t3],R+），且u1（t）>0,u2（t）>0,v1（t）>0,v2（t）>0.

由（2.5），则对u∈P∩∂PM,t∈[t1,t3],有

从而，‖Au‖≤‖u‖,∀u∈P∩∂PM.

（2.6）

由条件（H2）、（H3）有

‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω2.

（2.7）

‖Au‖≥‖u‖,∀u∈P∩∂Ω3.

（2.8）

3 例子

满足定理2.1的条件，由定理2.1 可知，该边值问题至少有一个正解。

满足定理2.2 的条件，由定理2.2 可知，该边值问题至少有一个正解。

例3：设t1=0,t1=1/3,t3=1,

[1]Hu.Wang.Multiplepositivesolutionsofboundaryvalueproblemsforsystemsofnonlinearsecond-orderdifferentialequations[J].J.Math.Anal.Appl,2007,335:1052-1060.

[2]钟成奎，范先令，陈文源，非线性泛函引论[M].兰州：兰州大学出版社，1998.

[3]何希萍,孙红蕊.三阶非线性系统三点边值问题的正解[J].兰州大学学报：自然科学版，2010（4）：84-88.

[4]M.A.Krasnosel’skii,PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen:Noordhoff, 1964.

[5]马如云.非线性常微分方程非局部问题[M].北京:科学出版社, 2004: 194-200.

[6]AndersonD.,DavisJ.M.Multiplesolutionsandeigenvaluesforthird-orderrightfocalboundaryvalueproblems[J].JMathAnalAppl, 2002, 267: 135-157.

[7]M.Krasnoselskii.PositiveSolutionsofOperatorEquations[M].Groningen:Noordhoff, 1964.

[8]K.Deimling.NonlinearFunctionalAnalysis[M].Berlin:Springer-Verlag,1985.

[9]Z.T.Zhang.Existenceofnon-trivialsolutionforsuperlinearsystemofintegralequationsanditsapplications[J].ActaMath.Sinica（inChinese）,1999（15）:153-162.

[责任编辑 龚 勋]

《甘肃广播电视大学学报》2015年1～6期总目次

（总第107～112期）

【丝绸之路文化】

大漠回归的灵魂书写

——对话雪漠

朱卫国，雪 漠，陈彦瑾，等（1.01）

论《野狐岭》“寻找”主题的意蕴表达

刘雪娥（1.07）

叙事的高度

——评雪漠新作《野狐岭》

瞿 萍（1.12）

从《野狐岭》看雪漠的探索精神

吴 浪（1.16）

《霓裳羽衣曲》新考

伏俊琏,李慧琳（2.01）

甘肃戏剧发展现状及其产业化路径的思考

朱卫国，刘镇伟（2.06）

从苦难中觉悟

——雪漠小说中女性形象的一次超越

刘 楠（2.13）

“开拓与守护：古丝绸之路交通要道上的白银”学术研讨会综述

史志林,沈渭显（3.01）

庆阳地区佛教古塔考述

赵世金（3.07）

毡帐-蒙古包

——游牧民居文化的标志性符号

洪思慧（3.14）

浅谈民国时期康藏研究期刊

何芳芳（3.18）

散说体和韵说体

——白马藏族文学在陇南川北毗邻区的并存态

蒲向明（4.01）

从芦塘到芦阳

——芦阳的历史演变寻迹

乔仲良（4.08）

宁夏参与“丝绸之路经济带”国家战略的文化作用论析

刘 挺（4.11）

河西四郡及其战略地位论要

雍际春（5.01）

元帝国时期（13-14世纪）唐古特民族与宗教变更

叶甫盖尼·克恰诺夫；李梅景，史志林（5.06）

延安地区北宋石窟涅槃造像中的乐舞图像考察

石建刚，贾延财，杨 军（5.10）

油担（油梁）考

——兼议白银地区食用植物油的古法提取技术

李保军,李守礼（5.17）

说“翁仲”

王 莉（5.22）

论粟特人何妥及其家族与儒学的关系

刘全波（6.01）

澄明的本心：陇东南童谣的民间哲学智慧

郭昭第（6.08）

杨立程、杨景修父子对陇东地方文献的传承保护

吴 娱（6.18）

【文史哲】

北魏元渊墓志释考

李 淼（1.20）

川边邻藏地区近代社会变迁研究典范

——《边疆政制建置与国家整合：以西康建省为考察中心（1906-1949）》之书评

张庆祎（1.25）

王栋养心说及其节欲思想

张树俊（1.29）

论李清照词的玉性特质

王莎莎（1.33）

杨万里诗歌创作论探析

马海音 ，陆双祖（1.36）

达观崇高 顺乎自然

——苏轼《前赤壁赋》试析

梁九义（1.39）

论鲁迅与莫言小说创作中的民间资源

吴世奇（1.42）

地方性审美经验的性别差异

——以影片《赛德克·巴莱》的审美人类学解读为例

刘 洁（1.48）

影响形容词释义的抽象意义参数研究

李树正（1.52）

从命名理据反思天水城区街巷名称

张惠强（1.56）

榆中方言V+卡[khA]与普通话动词重叠式对比分析

李敬国，马婷婷（1.59）

中国古代散文研究的新进展

——“中国古代散文国际学术研讨会（北京）暨中国古代散文学会第十届年会”综述

杨德春（2.16）

论《长生殿》中次要人物的叙事功用

董伟岩（2.21）

贾宝玉之为“情不情”新探

田佳潓（2.25）

论王禹偁的田园诗

何艳霞（2.28）

论明季小说中节烈妇女形象的社会影响

汪垠涛（2.32）

论格里高利·柯里的理论中叙事与虚构的关系

党霄羽（2.35）

同城异质空间下的叙述时间探析

——以洁尘的小说《锦瑟无端》为例

段虹宇（2.39）

从《城堡》看卡夫卡的主体性建构

康 晓（2.42）

生态视野下狼的叙事解读

——以小说《狼图腾》和《狼孩》为例

付冬玲（2.45）

《马氏文通》“名字状动字”初探

贾雅婷（2.48）

浅谈纳兰性德词中的孤独感

陈 佳（3.21）

论《竹取物语》的奔月情节

曹仪婕（3.27）

《羊哭了，猪笑了，蚂蚁病了》中的“梨花”意象探析

黄金龙,闫春慧（3.30）

浅论林海音《城南旧事》的叙事艺术

张存根（3.33）

爱的异曲同工

——莱辛和沃克作品中的母女关系探微

王欣欣（3.36）

电视访谈节目的语境顺应研究

——以《鲁豫有约》为例

肖 婷（3.40）

《红楼梦》知识问卷调查及分析

王人恩 ,李荣华（4.16）

论苏轼的主导词风及其成因

关 茂（4.23）

周姜氏：天使还是魔鬼？

——《活动变人形》中姜静珍形象新论

张波涛，温奉桥（4.26）

试析纳博科夫对《包法利夫人》的评论

白薇臻（4.30）

浅析毛姆长篇小说“三部曲”中东方形象的变化

王国婧（4.35）

叙事学研究中“叙述”与“叙事”的困惑

韩一睿（4.40）

马江之战张成有无临阵脱逃考辩

彭 程（4.43）

浅议京杭大运河京津冀段的开凿

郭 平（4.46）

仪式 族群 政治

——地方行政建制的文化学考察

张宏伟（4.49）

逻辑经验主义科学分界标准与困境

李静辉（4.52）

景观社会：权力的另类表述

叶蔚春（5.25）

论黄仲则诗歌的艺术风格及其深层意蕴

李欣池（5.28）

元结的文质思想浅论

陆双祖（5.32）

《史记·伯夷列传》新解

张晓琳（5.35）

中国古代档案载体之演变与记录意识之自觉

刘家书（5.39）

《说文解字》羽文化意蕴的研究

张翠伟（5.42）

浅析“且行体”的句法象似性

鲁小龙（5.45）

电视手段对少数民族文化舞台化表达的作用及影响

张辉刚（5.48）

《陇西行》主题思想的演进

尹占华（6.22）

汉代四言诗的《诗》学背景

张 侃（6.25）

略论赵壹及其思想

王德军（6.29）

蔡伸词研究现状及其成因

白秀珍（6.33）

现实题材把握的无力

——浅析严歌苓《补玉山居》

沈昕苒（6.36）

简媜散文中的中华文化认同

戴志杰（6.42）

简约而不简单

——以威廉斯诗歌《槐花盛开》和《窗边少妇》为例

袁渊泉（6.46）

研究语言和分析语言

——汉语国际教育专业汉语语言类专业课教学探究

杨同军,万慧君（6.49）

【政治·法律·经济·传播】

梦想照进现实

——论新世纪以来中国农民工题材电影中的“中国梦”

余 琼（1.61）

女性灵魂的觉醒

——解读电影《钢琴课》

孙 玮（1.64）

新媒体语境下纪录片研究理论综述

王旭智（1.68）

我国公民意识的演进逻辑与中国梦内涵演变的关系分析

曹永盛（1.71）

依法治国视角下公民参与行政决策问题研究

许海龙（1.75）

浅析烟草商业企业卷烟物流配送中心流程优化

田润娴（1.79）

恩格斯《自然辩证法》的科学思想探析

黄传根（2.51）

供应链视角下的我国制造业零库存反思

董 鹏，孔令夷（2.55）

破解“网络水军”行政监管的四个难题

冯渊源，邓小兵（2.60）

互联网视阈下众筹融资的法律规制

张 闽（2.64）

网络知识产权侵权的司法管辖权确定

于 静（2.70）

终结性检察文书上网公开的“后工程制度”构建

许秀姿（2.74）

关于逃税、避税与税收筹划的比较分析

胡绍雨（3.44）

基于供应链管理的武威葡萄酒产业运营模式研究

金玉清（3.49）

合作治理视野下非营利组织的发展路径探索

任媛媛（3.53）

高校基建工程如何进行质量控制

孟庆玲（3.57）

“刑修九草案”中身份证件犯罪入刑探讨

——以刑法谦抑性为视角

张军方,王海铭（3.60）

公共利益界定何以可能

——兼评《公共利益：界定、实现及规制》

孔 航（3.64）

论依法治国与党的领导的内在契合

武佳明（4.56）

陈独秀法学思想探微

于靖雅（4.60）

社会治理视阈下环保舆情传播特征与危机应对

——基于“巢湖水污染”的个案研究

刘 丽（4.64）

停播只是传言？

——浅析《康熙来了》的现状及成因

金 剑（4.69）

我国环境法律责任的立法突破与展望

王 赫（5.51）

论我国构建环境人格权的必要性

邹文娟（5.56）

基于企业公民视角的国企分类监管研究

王雅丽（5.61）

劳务派遣连带责任新分配对派遣工的影响探析

——兼评《劳动合同法》第九十二条第二款

陈 娟（6.52）

基于现金流量的高职院校财务困境判别研究

周跃进（6.56）

“互联网+”时代媒体融合的关键

王 佳，权 玺（6.61）

跨界导演的典型案例

——郭敬明与他的《小时代》

张慧伦（6.65）

【开放教育】

解构与质疑共同体

左连凯（1.82）

体验文化教学法概说

——电大高职英语教学中学生自主学习能力培养研究

林天文，李丽娟（1.86）

英汉被动句的对比与翻译方法

付晓燕（2.78）

人内和人际传播学在农村学校学生英语口语习得中的运用

史建国 ,张隽彦 ,张倪俊（2.81）

浅议学校档案管理创新

李 娜（2.86）

数字电视应用于现代远程教育的调查研究

俞建华（3.67）

互动管理型教学方式的核心要素探讨

——基于教育云资源的特点

刘向宇,曹红岩（3.74）

胜任力视角下的省级广播电视大学教师人力资源管理探究

钱丰收（3.78）

《开放英语2》课程网上任务型教学模式的探索与应用

王建春（3.82）

把握科技脉搏 融合人文精神

——2015年《申论》国考题（地市级）解析

李建军（3.86）

陈宾茂赣南采茶舞蹈的教学艺术研究

赖 丹,常俊勇（4.74）

浅谈信息技术与课程整合

葛俊艳（4.78）

浅析高职院校艺术教育传承传统文化的途径

李海英（4.81）

浅谈软式排球在高校女生排球教学中的优势

柴 健，王 阳（4.84）

家庭环境对幼儿心理健康的影响及干预措施

曹新茹，李 梅（4.87）

Moodle学习平台管理有关问题研究

张瑞英（5.65）

开放大学建设背景下基层电大科研文化重建的思考

刘维理（5.70）

网络社区环境中的社会工作问题探析

董 洁（5.74）

基于博弈论思想的奖、助学金评定效率与公平的实证研究

何树勋，鲁绵茸，牛高焕（5.77）

营养健康教育对高职生膳食营养状况的影响

杨 丽（5.82）

试论英文电影《音乐之声》对中学生生命价值观的影响

朱 玲, 姚桂招（5.86）

中国开放大学章程建设的价值及关系分析

魏 萍（6.69）

马来西亚宏愿开放大学OER项目的特色与启示

丁 霞（6.72）

电大学生有关地方文化资源认识现状的调查分析

陈秀锦，方中华（6.76）

基于优质网络课程的引领式教学模式

——以《公司财务》课程为例

谷茂春（6.79）

现代远程开放教育实践教学质量问题探微

——以甘肃电大直属学院为例

刘沙茸（6.83）

【理 工】

三阶常微分方程组三点边值问题正解的存在性

何希萍（6.86）

2015-07-16

甘肃广播电视大学科研项目“高阶微分方程的多点边值问题”（2014-YB-01）。

何希萍（1970-），女，甘肃民勤人，教授，理学硕士，主要从事常微分方程研究。

O175.14

A

1008-4630（2015）06-0086-05