浅谈初中数学教学中数与形的应用

李香顺

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状，大小，位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。

一、研究目的及意义

数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的沦证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”。在初中数学教学中，有些抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心。尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性。同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。

二、教学中广泛涉及数字与图形之间的结合

（一）函數及其图像中的数与形关系。“函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，且解法简捷、独特。

（二）不等式中蕴含的数与形之间的关系。对于“不等式和不等式组”，一元一次不等式的解法虽然与一元一次方程的解法相似，但学生不易理解一元一次不等式的解有无数个，在教学时，为了加深学生对不等式的解集的理解，老师在教学时，把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无数个解。另外，再做一些练习，要求它通过数轴上的点的位置，去求变量的取值范围或者是变量的值。这里渗透了数形结合的思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又迈进了一步，在确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。

（三）如何引导学生利用好数与形。数形结合中数轴是重要工具，借助其可直观表示较多数学问题，令数形有机结合，因此在初中数学教学中我们应合理引入数轴帮助学生掌握相反意义概念，了解绝对值、相反数内涵，全面掌握比较有理数大小方式，深刻理解有理数运算意义法则等，进而圆满完成教学任务。

（四）初步统计内容中的数与形。在初步统计中，一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点。研究一组数据的集中趋势（平均数、众数、中位数），相当于考察这群离散点的分布状态；而研究一组数据的波动大小（方差、标准差），就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律。

三、数形结合对学生能力培养的重要性

（一）有利于提高学生思维的独创性。思维的独立创造性是指敢于超越传统习惯的束缚，摆脱原有知识范围和思维定势的禁锢，善于把头脑中已有的知识信息重新组织，产生具有进步意义的新设想和新发现。利用形的直观性，探寻到具有创新意识的简捷妙法，可避开繁琐运算，简捷解题，提高解题速度，达到培养思维的独创性之目的。

（二）有利用提高解题准确性。正确是指解题结果完全符合预期的设想。在解题过程中，准确是解题的关键。数形结合，可用利用“形”的直观性提高“数”的准确性。

（三）有利于开阔学生的思维。思维的广阔性是指思维活动中避开单一狭隘的思维模式，对所学知识融会贯通，多角度、全方位思考问题、解决问题的程度。思维越广解决处理的方法越多。利用数形结合，用大树知识解决几何问题，或用几何知识解决代数问题，避免以代数解代数，几何解几何的单一模式。数形结合解题就是根据数量的特征与图形结构，使数与形相互转化，开辟解题新途径。

（四）有利于提高学生灵活思考的能力。思维的灵活性是指思维活动具有较高的灵活程度，能善于沿着不同角度，顺着不同方向，选择不同方法，对同一问题从多方位、多侧面的认识。数形结合思想引导学生多方位思考，审时度势，适时突破常规的思维定势，有利于培养解题思维的灵活性。

四、数形结合是提高学生解决问题能力的重要途径

代数法是利用数形结合解决问题的又一方法，是利用代数知识来解决几何问题的思考方法。其指导思想是利用数形结合的思想方法，根据形与数的内在联系，对形的问题进行数的描述，把形的问题转化为数的问题，再有效地利用代数工具 （代数式的恒等变形、方程（组）、函数、不等式、行列式等）求得数的结果，通过对数的结果进行几何解释，得到形的结论。

几何法是与代数法并列的利用数形结合解决问题的方法，是利用几何知识来解决代数问题的思考方法，其指导思想是数形结合的思想方法，根据形与数的内在联系，对数的问题进行形的表述，把数的问题转化为形的问题，通过对图形的研究来推出数的结论，从而能使解题更加简捷、明晰。学生在动手画图和观察图形关系中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”的过程，学生学习知识的能力和水平得到提高，数形结合的思想得到渗透和运用。数形结合是一个极富有数学特色的信息转换，由数想其形，由形研究数，数形互补。这成为沟通代数几何的桥梁，对简化解题过程，培养学生的数学能力具有重要的作用。

五、如何使学生灵活运用“数”与“形”

（一）根据学生的年龄特点在学习的不同的阶段的认识水平和知识特点，由易到难逐步深入不断提高学生的认识水平和解题能力。

（二）选择典型的例题进行讲解并指导学生进行有真对性的练习。让学生通过解题明白用数形结合解决有关的问题可以避免复杂的运算和推理大大的简化了解题的过程；使学生从感性认识到理性的认识在实践中得到锻炼。

（三）结合生活中的实际问题和探索规律，反复讲解渗透，强化数学中的数形结合的思想，培养学生在数学学习中的数形结合的意思。并使学生在运用数形思想解题时弄清楚是有数思形还是有形思数的问题，加深其对问题的理解。在探索规律的过程中让学生明白应该遵循有特殊到一般的思路从而得出一般性的结论。

六、挖掘教材中的数形结合思想

由于数形结合思想是一种深层的数学知识，它隐含于数学教材之中，教学的首要任务就在于引导学生充分挖掘教材中的数形结合思想，而挖掘过程采用的主要方法是归纳和提炼。教师在教学过程中根据数学知识编排课程内容时，要注意根据学生的认知规律，渗透一些数学结合的初步思想。根据教学实际情况引导说明，抓住数形结合的思想引导学生学习，既借助图形使数量更加直观形象，又借助代数方法研究图形特征。这样，既有利于数形结合思想的阐述，又比较符合学生的心理发展规律和认识规律。这样，有利于提高学生学习数学的兴趣，开拓学生的解题思路、活跃课堂气氛、发展学生的形象思维能力、空间想像能力等。

七、巩固练习对学生数形结合能力提高的重要性

当学生弄清楚了数形结合思想以后，教师在数学基础知识教学和及解题指导中，应尽量体现数形结合思想方法的运用，使其达到自觉、自由的熟练运用。在进一步的运用过程中继续加深对数形结合思想的理解。这个阶段要注意设置阶梯，有明显的层次感，循序渐进，由浅入深。数形结合思想方的运用必须恰当，有时貌似数与形没有联系，实则不然，有时需要先转化再用数形结合思想；有时则是一开始研究问题就需要运用数形结合思想。掌握其问的分寸，正是加强数形结合思想训练的目的。