变与不变

张景中

哥哥的年龄增加1岁，弟弟的年龄也增加1岁。两个人的年龄都变了。但年龄的差没有变。去年哥哥比弟弟大3岁，今年还是大3岁。

一个小球抛上去，越高，小球上升的速度就越慢，到了最高点向下落，越落，小球下降的速度就越快。它的高度和速度在不断变化之中。高了，势能增加，但速度变小了——动能减少了。低了，势能减少，但速度变大了——动能增加了。它的机械能（势能与动能之和）是不变的。

把一张椅子从屋里搬到院子里，椅子的位置变了，但大小没有变。它还是那么高、那么宽，方的还是方的，圆的还是圆的。

我们利用照相机把万里河山的壮丽景色摄在小小的底片上，我们利用显微镜把细菌的奥秘呈现于眼前。大的可以变小，小的可以变大。在这类变化之中，大小变了，模样大体没有变。

大千世界，到处都在发生着明显或隐蔽的运动与变化。迅速的变化令人目眩神迷。缓慢的变化却悄无声息。但是，正像前面列举的一些例子那样，在变化的过程中，常常有相对不变的东西。

数学家的眼光，常常盯住变化中不变的东西。正是这些不变的东西，把变化中的不同镜头联系起来，帮助我们认识变化过程的本质，帮助我们解决各种问题。

同学们都知道，解有关年龄的应用题的时候，两个人的年龄差不变是个关键。抓住这一点，往往可以使问题迎刃而解。

同学们都知道，方程两边加上或减去同一个数、同一个代数式，方程样子变了，但解没有变。抓住了这一点，才能用移项的办法化简方程，求方程的解。

一个代数式，可以变成另一种形式。例如，a²-b²可以写成（a+b）（a-b）。样子变了，但让a、b取具体数值的时候，算出来的结果不会变。正因为如此，我们才可以把57²-56²写成（57+56）×（57-56），一下子算出结果是113：把48：<52写成（50-2）×（50+2）=50²-4，一下子算出结果是2496。

在平面几何里，图形里的一部分，可以经过旋转、平移、反射、放大、缩小变成另一部分。在旋转、平移、反射的时候，图形上两点间的距离是不变的。在按比例放大、缩小的时候，图形上的角度是不变的。利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到巧妙的解题窍门。

责任编辑：胡云志