例析数学思想在数列中的应用

姜守芹

数学思想方法是数学意识和数学方略的总称，在解决数学问题时，能起到促进和深化的作用。如果能够有效地运用数学思想方法去分析问题、解决问题，不仅能够强化同学们的解题意识，而且能快速地解决问题。现举例分析数学思想方法在数列中的渗透，以供同学们参考。

一、方程思想

等差（等比）数列{a_n}的通项公式、前n项和公式集中了等差（等比）数列的5个基本元素a₁、d（q）、n、a_nS_n，“知三求二”是等差（等比）数列中最基本的题型。因此，我们常依据等差（等比）数列的这一内在关系列出方程（组），通过解方程（组）的方法解决问题。

二、函数思想

数列是一种特殊的函数，数列可以看成定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成关于n的函数，因此利用函数思想将数列问题转化为关于自变量n的函数问题，是一种很有效的解题方法，问题往往会迎刃而解。

三、数形结合思想

在解决与通项或前n项和有关的问题时，可利用一次函数和二次函数的图像进行直观分析。利用数形结合思想解决数列问题直观、形象。

四、整体代换思想

在数列求值等问题中，由于未知数的个数多，在根据题意列方程（组）求解时，有时运算较烦琐，甚至解不出。若能从问题的全局出发，依据题目的某些条件，变换思考问题的角度，整体处理，常常可以简化问题，减少运算量，从而使解法简捷、明快。

七、转化与化归思想

对于较复杂的数列问题，常通过逐步转化，达到化繁为简、化难为易，使问题得以顺利解决。数列中转化与化归思想的运用，主要体现在把非特殊数列问题转化成特殊数列問题来解答，如：求递推数列的通项公式可通过构造转化为求特殊数列的通项公式，非特殊数列的求和问题可转化为特殊数列的求和问题等。