完美数与梅森素数

蔡天新

上期，我们讲了公元前5世纪毕达哥拉斯所定义的完美数、友好数及其现状。完美数等于自身的真因数之和，其中最小的是6，因为有6=1+2+3。第二小的完美数是28，因为28=1+2+4+7+14。自诞生以来。完美数就具有一种诱人的魔力，吸引了众多的数学家和业余数学爱好者。他们像淘金客一样“趋之若鹜”，永不停歇地去寻找完美数。

我们也曾提到，1747年，客居柏林的瑞士大数学家欧拉证明了，一个偶数n要成为完美数当且仅当它是下列形式的数：

n=2^p-1（2^p-1），

①其中p和2^p-1-1均為素数。

可是，在这中间约有2300年。这中间数学家和业余数学爱好者们都去干了些什么呢？难道什么也没做吗？

事实上，公元前3世纪问世的欧几里得的《几何原本》中便提到并证明了公式①是偶完美数的充分的条件。但这个充分条件很可能是由柏拉图的弟子阿契塔首先发现的，他生活在公元前4世纪。相传，风筝也是他发明的。当p取2和3时，分别对应于6和28这两个完美数；而当p取5和7时，则分别对应于496和8128。对于比较小的p，2^p-1-1是素数不难验证。但并非总是如此。

大约在1000年，巴士拉（今伊拉克）出生的阿拉伯数学家海桑猜测，①也是偶完美数的必要的条件。可他当时无法给出证明。这不禁让我们想起了非欧几何学的那些最早的探索者，他们也是几位阿拉伯和波斯的数学家。海桑还是中世纪的最重要的一位物理学家，尤以光学方面的贡献最大。古希腊的希罗和托勒密认为，人能看见物体是靠眼睛发射出的光线被物体反射的结果。海桑对此予以纠正，他认为光是由太阳或其他发光体发射出来的，然后通过被看见的物体反射人人眼。

巴士拉位于巴比伦河的人海处，它是伊拉克战争期间美英联军首先攻占的城市。海桑生前被尊称为“巴士拉先生”，但他的学术生涯主要是在开罗度过的。他的生活并不如意。一次，他为了惹人注意。声称自己能够调控经常泛滥的尼罗河水，结果被国王下令去完成调控任务。海桑在明白这个任务不可能完成以后，便对自己的生命感到了担忧，遂开始装疯卖傻，直到国王去世才恢复“正常”。

第5个完美数姗姗来迟，与第4个差不多相隔了13个半世纪，横跨了中世纪漫长的黑暗年代。直到15世纪，确切地说是在1456年到1461年间，它才由一位无名氏发现。这第5个完美数是一个8位数：33550336，对应于p=13。但在欧拉的证明之前，人们还不能断定这就是第五小的完美数，因为有可能存在被遗漏的完美数，也即在第4个完美数和第5个完美数中间可能会有别的完美数。

1588年，博洛尼亚的意大利数学家卡塔迪找到了第6个完美数8 589 869 056和第7个完美数137 438 691 328，分别对应于p=17和p=19。至此，完美数研究的领先优势又重新回到了欧洲。有趣的是。在卡塔迪之前，至少有19个人声称找到了所谓的第6个完美数。而第7个完美数所包含的那个素数2¹⁹-1=524287，在此后的两个世纪里竟然一直是人类所知晓的最大的素数。

在卡塔迪发现第6个和第7个完美数的同一年，法国天主教神父梅森（1588-1648）诞生了。他的故乡在巴黎西部卢瓦河大区的萨尔特省。梅森研究了形如M_n=2ⁿ-1的整数，这类整数被后人称为梅森数。当梅森数为素数时，则称为梅森素数。显而易见，有多少个梅森素数，就有多少个完美数。但在那个年代。这个命题的逆命题是否成立，尚不得而知。

当人们发现M₂=3，M₃=7，M₅=31，M₇=127都是素数时，自然会联想并猜想所有的M_p（p为素数）都是素数。但这个猜想却是错误的，事实上，

M_n=2¹¹=2047=23×89。

不管怎么说吧，自从梅森素数出现以后，完美数的历史便与梅森素数挂上了钩。

17世纪。两位多才多艺的大数学家笛卡尔和费马对人类文明作出了巨大的贡献。对完美数问题，他们也悄悄予以关注，并倾注了心血，不过却收效甚微。笛卡尔曾公开预言：“能找出的完美数是不会很多的。就好比人类一样，要找一个完美的人并非易事。”1638年，笛卡尔在给梅森的信中写到：“我想我能够证明，除了欧几里得所给出的以外，再也没有别的偶完美数了；而一个奇数要成为完美数，必然是一个素数与若干个不同素数的平方的乘积……”但笛卡尔的预言要再过一个多世纪才能实现呢。

1640年，经过数年的探索以后，费马在给梅森的信中声称他可以证明：当指数n是合数时，2ⁿ-1必然也是合数。自那以后不久，费马写信给另一个朋友，宣布了著名的费马小定理：若p是素数，p不整除a，则p必整除a^p-1-1。不难看出，费马是从完美数的研究过程中得到了费马小定理的。后者在现今流行的密码学理论中正发挥着极其重要的作用。这里再说个小插曲：据说微积分学的两个发明人之一、德国数学家兼哲学家莱布尼兹就曾荒谬地认为，2ⁿ-1是素数当且仅当n是素数。

梅森收到费马的来信以后，非常高兴，对不超过257的所有素数p，研究了2^p-1形的素数，并在1644年把结果公之于众。梅森是著名的哲学家、数学家，还被誉为“声学之父”。梅森是17世纪前半叶法国科学界和数学界的中心人物，法国科学院的雏形其实是他举办的沙龙。

现在，轮到瑞士出生的大数学家欧拉（1707-1783）登场了。

1747年，客居柏林的瑞士数学家欧拉终于证实了海桑的猜想，即凡是偶完美数其必具有①的形式。从今天来看，这个证明并不难。这一充分而且必要的条件今天也被称作欧几里得一欧拉定理。

至此，偶完美数的问题比较清晰了，其存在性归结为梅森素数的判断。又过了25年，65岁的欧拉此时早已返回俄国彼得堡。但他双目失明了。他在助手的帮助下，竟然用心算找到了第8个完美数：

2 305 843 008 139 952 128。共19位（对应于p=31）。此时，距离上一个完美数的发现。已过去了184年。这也就是说，虽然17世纪被英国哲学家、数学家怀特海誉为“天才的世纪”，并且有多位伟大的数学家沉湎于完美数的问题，但仍然没有找到哪怕一个新的完美数！

时光又流逝了一个多世纪，1883年，在俄国乌拉尔山以东（隶属于亚洲），离叶卡捷琳堡250公里的一座小村庄里，56岁的东正教牧师普沃茨米找到了第9个完美数（共37位，对应于p=61）。不过，他的出生地是乌拉尔山西侧的彼尔姆州（隶属于欧洲）。

此前7年，即1876年，法国数学家卢卡斯从15岁开始，经过长达19年的努力，手工检验出M₁₂₇是素数（77位）！在随后的四分之三个世纪里，M₁₂₇一直是人类所知的最大的素数，直到计算机时代来临（所以，M₁₂₇可能永远是手工验算出来的最大的素数了）。

1911年和1914年，美国科罗拉多州的一位铁路公司职员鲍威尔又发现了两个新的（第10个和第11个）完美数，共54位和65位，对应于p=89和p=107。而卢卡斯找到的那个完美数依照大小是第12个。

鲍威尔有所不知的是，在他于加州小镇去世的头一天晚上，即1952年1月30日，加州大学伯克利分校的罗宾逊教授利用计算机，找到了另外两个新的完美数（第13个和第14个），对应于p=521和p=607。当年，罗宾逊又找到了另外3个完美数。从那时起。完美数便进入了计算机时代，寻找完美数和梅森素数的竞争也变成计算机间的竞争了。