基于模型依靠平均驻留时间下的系统稳定

段连伟 刘芬

【摘要】在不连续时间切换系统下，通过用类多李雅普诺夫函数方法和迅速平均驻留时间方法，对不稳定的子系统进行稳定性分析，使系统稳定.

【关键词】指数稳定;模型依靠平均驻留时间;迅速切换

1.介 绍

切换系统的主要思想是稳定性分析.它的稳定性越来越受到广大学者的关注.因此，大量的有效率的方法被提出来处理切换系统的稳定性与稳定性问题.如今，一个新的概念“快切换”用来处理不稳定的子系统，减少了保守性.文中对不稳定的子系统处理方法：（1）不稳定的子系统和稳定的子系统用同样的李雅普诺夫函数，但稳定的子系统运行时间足够长.（2）不稳定的子系统执行迅速切换，稳定的子系统执行原来的切换.

2.问题构想和正文内容

不连续时间切换系统：

x（t）∈Rn是状态向量，U（t）∈Rn控制输入.σ（t）是切换信号.在有限数下，N-={1，2，…，N}，N表示子系统的数目.Aj和Bj是实值矩阵，对任意的j∈N-，它们维数相同.设定有r个稳定的子系统（1≤r≤N），记S{1，2，…，r}，U{r+1，r+2，…，N}.

定义1 系统（1）在U=0时是全局一致指数稳定的，如果有常数α>0，β>0，满足

‖x（t）‖≤-‖x（t0）‖exp（-β（t-t0）），t≥t0.

定义2 任意的t2>t1≥0，Nσp（t2，t1）表示在[t1，t2）上第p个子系统被激活的切换次数.如果存在N0p≥0，τap>0，有Nσp（t2，t1）≤N0p+Tp（t2，t1）τap.

（2）

τap是平均驻留时间，N0p表示振荡界.

定义3 任意的t≥t0和切换信号σ，Ncσp（t，t0）表示在区间[t0，t）上第p个子系统被激活的切换次数.Ncp为振荡界.p∈N-，如果有常数τcap>0和Ncp≥0，使得不等式成立Ncσp（t，t0）≥Tcp（t，t0）τcap-Ncp.

（3）

3.主要结果

一，所有的子系统有李雅普诺夫函数V（x（t）），系统慢切换;二，不稳定的子系统执行迅速切换，稳定的子系统有李雅普诺夫函数Vp（x（t）），p∈S，不稳定的子系统用李雅普诺夫函数Vc（x（t）），c∈U，定理2.

定理1

在任意切换信号给定的条件下，系统是全局一致指数稳定的.

r-T-+r+T+<-r*r2r1（t-t0）（0

τap>τ*ap=Inμpp（tp）.

（8）

由于σ（tk）=i，σ（t-k）=j，i≠j，μi≥1，使得Vi（x（tk））≤μiVj（x（t-k））.T+[t0，t）表示在[t0，t）时间不稳定的子系统运行时间.

r-=maxp∈Slnμpτap-αp（tp），r+=maxp∈Ulnμpτap-αp（tp），-=exp{∑Np=1NopInμp}，系统是全局一致指数稳定的.

证明 对任意的T>0，t∈[ti，ti+1），

定理2 有类李雅普诺夫函数Vp（k），Vc（k）：Rn→R.r1，r2≥0，ζc>0，μp>1，0<μc<1，有（4）（5）（6）（7）成立和如下线性矩阵不等式：

结合（4），（5），（6），（7）系统指数稳定.

证明：定理1有部分是相同的，略去，继而可以得到：Vσ（T）（T）≤ exp{∑rp=1N0p·Inμp-Ncp·Inμc}·exp∑rp=1Inμpτap-αp（tp）Tp（T，0）·exp{Inμcτcap-βc（tc）}Tcp（T，0）·Vσ（0）（0）Tp（T，0）表示第p个子系统的时间，Tcp（T，0）表示运行系统中不稳定子系统的时间.令 1=exp∑rp=1N0p·Inμp-Ncp·Inμc，β11=maxInμpτap-p（tp），Inμcτcap-βc（tc），β1=-β11，由以上我们可以得到：Vσ（T）（T）≤1·exp（-β1（t-t0））·Vσ（0）（0）.

结束语 对系统中稳定的子系统与不稳定的子系统两种处理方案.模型依靠平均驻留时间相比平均驻留时间可减少保守性，在设定的几个线性矩阵不等式下，采用类李雅普诺夫函数，系统是稳定的.