天体运动中周期与频率的应用

刘成刚

[摘 要]天体运动是高中物理教学的难点，随着我国航天技术的飞速发展，天体运动问题逐渐成为高考命题的热点，为了有效帮助学生提高解答此类问题的能力，本文从以下两方面结合例题作些分析说明。

[关键词]天体运动 周期 频率

[中图分类号] G633.7 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230042

高中物理中，天体运动一般视为匀速圆周运动，天体运动所需的向心力都是由它们所围绕的星球对它们的万有引力所提供的。处理天体运动问题的依据是万有引力定律和圆周运动规律，下面结合例题作些分析。

一、周期和频率的含义及应用

1.周期T：物体做匀速圆周运动一周所需时间。

2.频率f：物体做匀速圆周运动1秒内旋转的圈数。周期和频率互为倒数。T=1f。

【例1】 地球自转周期为T0，在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星旋转周期为T，求卫星每天绕地球运转的圈数？

解析：①先求卫星运转一周所需的时间。

由地球对卫星的万有引力等于卫星所需的向心力，得：

GMmr2=m（2πT）2r

T=2πr3GM

由恒等变换：GM=R2g

得T=2πr3R2g

②再求卫星运转一周相当多少天。

TT0=2πT0r3R2g

③最后求卫星每天绕地球运转的圈数。

TT0的倒数为卫星每天绕地球运转的圈数。

T0T

=T2πR2g（R+h）3

【例2】 有一种卫星叫做极地卫星，其轨道平面与地球的赤道平面成90°角，它常应用于遥感、探测。假设有一个极地卫星绕地球做匀速周运动。已知：该卫星的运动周期为T0/4（T0为地球的自转周期），地球表面的重力加速度为g，地球半径为R。则该卫星一昼夜能有几次经过赤道上空？

解析：①先求卫星运转一周需要多少秒。

该卫星的运动周期为T0/4（T0为地球的自转周期）。

②再求卫星运转一周相当多少天。

TT0=14天

③最后卫星每天绕地球运转的圈数。

TT0的倒数为卫星每天绕地球运转的圈数。

TT0=4圈

卫星每运转一圈两次经过赤道上空，故该卫星一昼夜能有8次经过赤道上空。

二、周期和频率的拓展应用

1.以地球自转周期（T0=24小时）为单位计算卫星绕地球运转的圈数n。

问题：近地卫星每天绕地球运动多少圈？

方法一：GMmR2=m（2πT）2R

恒等变换：GM=R2g

（1）卫星运转周期：

T=2πR3GM=

2πRg=

2×3.146.4×1069.8=

5024s

（2）卫星运转周期：TT0=

502424×3600

天

（3）卫星每天绕地球运转圈数n=T0T=24×36005024=17.2圈

方法二：以地球同步卫星运转周期（T0=24小时）为单位计算近地卫星绕地球运转的圈数n。

（1）同步卫星：GMm（R+h）2=

m（2πT1）2（R+h）

T1=2π（R+g）3GM

（2）近地卫星：GMmR2=m（2πT2）R

T2=2πR3GM

单位为：秒

（3）近地卫星的周期：

T2T1=

R3（R+h）3

单位为：天

（4）近地卫星每天绕地球运转圈数：

n=T1T2=

（R+hR）3=

（1+hR）3=

（1+3.6×1076.4×106）=

17.2圈

【例3】 宇宙飞船以周期T绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，地球质量为M，引力常量为G，地球自转周期为T0。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为α，则一天内飞船经历“日全食”的次数为多少？

解：①宇宙飞船绕地球运转周期为T，单位为秒。

②宇宙飞船绕地球运转周期为T/T0，单位为天。

③一天内飞船经历“日全食”的次数为T0T。

【例4】 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T0

解法一：极地侦察卫星满足牛顿第二定律方程。

地球对卫星的万有引力等于卫星所需的向心力

GMm（R+h）2=

m（2πT1）2（R+h）

地球表面有恒等变换：GM=R2g

联立求解有：T1=2π（R+h）3R2g

考察赤道地面上物体的匀速圆周运动和极地侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，这两个匀速圆周运动的轨道平面是互相垂直的。

由角速度公式：

ω=ΔθΔt

Δt=Δθω

Δθ1ω1=Δθ2ω2

Δθ2=ω2ω1Δθ1=

T1T2Δθ1

取卫星：Δθ1=2π

地球半径扫过的角度：

Δθ2=T1T2Δθ1=

2πT1T2=

4π2T0

（R+h）3R2g

卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长：

l=R·Δθ=

4π2T0

（R+h）3g

解法二：极地侦察卫星满足牛顿第二定律方程。

地球对卫星的万有引力等于卫星所需的向心力

GMm（R+h）2=

m（2πT1）（R+h）

地球表面有恒等变换：GM=R2g

联立求解有：T1=2π（R+h）3R2g

考察赤道地面上物体的匀速圆周运动和极地侦察卫星绕地球的匀速圆周运动，这两个匀速圆周运动的轨道平面是互相垂直的。

卫星绕地一周，经过处于白昼的赤道上空只能拍摄一次照片。

①卫星绕地球运转周期为T，单位为秒。

②卫星绕地球运转周期为T/T0，单位为天。

③卫星每天拍摄照片的次数为N=T0T

设卫星上的摄像机一次拍摄到的赤道上圆弧长度为L，则有：2πR=NL

联解以上四式得卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：

L=4π2T0（R+h）3g

2.以月球绕地球公转周期（T0=27.3天）为单位计算卫星绕地球运转的圈数n

【例5】 已知地球半径6400km，月地距离r=3.85×108m，地球同步卫星距地高度h=3.6×107m，求地球同步卫星每个月转过的圈数？

解：对月球：G=Mmr2=m（2πT月）2r

T月=2πr3月GM

对地球同步卫星：

GMm（R+h）2=m（2πT）2（R+h）

地球同步卫星的周期：T=2π（R+h）3GM单位：秒

地球同步卫星的周期：TT月=（R+hr）3

卫星每月转过的圈数：

n=T 月T=

r3（R+h）3=

3.85×1086.4×106+3.6×107

=27.3圈

3.以任意卫星绕地球做匀速圆周运动周期T0为单位计算卫星绕地球运转的圈数n

【例6】 如图，三个质点a、b、c质量分别为m1、m2、M（Mm1，Mm2）。在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，轨道半径之比ra∶rb=1∶4，则它们的周期之比Ta∶Tb= ；从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a绕c转动的圈数。

解：根据GMmr2=m4π2T2r

，得T=4π2r3GM，所以TaTb=

18

，

①a物绕c物运转周期为Ta，单位为秒。

②a物绕c物运转周期为Ta/Tb，单位为“b物周期Tb时间单位”。

③a物每“b物周期Tb时间单位”绕c物运转的圈数为N=TbTa=8

所以，从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a绕c转动8圈。

周期和频率是圆周运动中描述运动快慢的两个物理量，概念容易理解，要在物理习题中得心应手地应用它们，还需要特别关注。这两个知识点的考查近几年已成为高考热点问题。

（责任编辑 易志毅）