基于稀疏AR模型的潮流信号建模与预报

卢小鹏，叶庆卫，吕翠兰

（1.宁波海洋环境监测中心站，浙江 宁波315012；2.宁波大学 信息科学与工程学院，浙江 宁波315211）

0 引言

当前常用的潮流分析及预报方法［1－3］以调和分析为主，但是在潮流预报的实践检验中发现调和分析方法用于潮流复杂海域的潮流预报误差较大。仔细分析认为造成这样的原因主要是该种海域的潮流除了受潮汐力的影响外，还受到其他因素的影响，如周边地形的曲折岸线、岛屿的阻拦、海底的复杂水深、以及其他水道潮水的补充等，这都会造成这些水域的潮流没有外海潮流表现的周期性完美。在这些复杂水域进行调和分析计算时，虽然在一些高频分潮上会有所体现，但从预报结果来看并不能很好地表现水域的实际潮流情况，对非潮汐力干扰较大的潮流不能准确描述，这样就表现出误差较大的情况，特别是一些较大的极值不能很好把握。

针对这种情况，本文引入信号稀疏表示［4－8］来克服部分非线性效应、噪声因素等对预报的干扰。考虑从实测数据本身出发，将这些数据看成一系列的时间序列信号，选用AR模型即自回归模型，分析这些数据的历史关联性。从表面来看，这只是对实测信号进行分析，好像完全颠覆了调和分析的原理，与传统方法毫无联系。实际分析会发现该方法对传统调和分析原理也存在一定的继承，因为原始潮流数据本身就包含这个调和原理，再通过AR模型对这些潜在信息进行自回归研究，寻找信号自身的自适应性，寻求信号间的变化规律。所以不管被预测的系统受到多少因素的影响而产生复杂信号，都能够通过建立一种较为通用的模型来自适应获取这些因素的规律，并进行预测。

AR模型方法在经济学、信息学以及自然现象的预测上已广泛运用，也是气象要素序列常用的分析方法［9］，在水文预报中主要用于洪峰预测，但涉及潮流方面的运用分析研究还较少。本文在常规AR模型基础上引入稀疏优化进行了改进，提出一种稀疏AR模型。把常规的AR模型看成是一种过完备稀疏表示，采用重复多次抽样的方法构建多个欠定方程组，然后利用稀疏优化求解方法（如 OMP、BP等［4－8］）求解欠定方程组，获得稀疏的AR系数解。多次优化求解不同的稀疏抽样欠定方程组后进行平均来消除噪声因素的干扰，获得稳定精确的AR系数解。

1 基于稀疏AR建模的基本原理

1.1 基于 AR 模型的过完备稀疏基构造［10－11］

假设信号符合AR模型：

上式中xk为时间序列参数，al为相关系数。由（1）式可以看出AR模型具有较强的时间相关性，即第k时刻的信号xk只与它前p个时刻的信号xk－l（l＝1，2，…，p）有关，与其他时刻的信号和激励无关，则第k时刻的信号xk可以由其前p个时刻的信号线性表示。

对某一信号采样了n点，因为信号符合AR模型，则可以得到方程组：

将方程组（2）用矩阵形式表示：

令矩阵

其中我们把矩阵Z定义为过完备稀疏基，并且要求np＞p。因为信号符合AR模型，方程（4）得出的解→a最多也只有p个非零元素，即→a最坏的情况是p为稀疏的。而n－p＞p，则向量→x′∈Rn－p可以由矩阵Z的列向量稀疏表示。所以我们可定义矩阵Z为过完备稀疏基。

1.2 稀疏表示

因为符合AR模型［10－11］的信号具有较强的时间相关性，则第k时刻信号xk可以由其前p时刻的信号稀疏表示。根据这一特点，可以构建一个矩阵Φ，用OMP算法求得信号的稀疏系数→a。

首先从过完备稀疏基中随机抽取m行，其中m＜p，得到欠定方程组：

其中i1，i2，…，im是从过完备稀疏基Z中任意选取的m行的行号，并令：

因为方程组（5）是欠定方程组，有无穷多个解，我们需要的解是最稀疏解，则方程组可以转换为求：

其中：ε为实数。因为式（6）的求解是NP－hard问题，若Φ满足约束等距性，并且δ＜－1（RIP，即约束等距性，就是对任意K－稀疏向量s→，观测矩阵Φ满足式1－，其中δ∈ （0，1）），则可以将式（6）转换成求ℓ1最小范数，即式：

求ℓ1最小范数下最优化问题，本文采用OMP算法求解式（7）得到稀疏系数→a。因为Φ是随机抽取过完备稀疏基Z的m行构造的m行p列矩阵，所以每次选取后构造的结果和求的稀疏系数结果都不稳定，为了稳定实验结果，可以重复上述步骤N次，对最后求得的N个稀疏系数（j＝1，2，…，N）进行求和平均得到→a＾。

用过完备稀疏基Z乘以最终求得的稀疏系数→a＾可以重构第p＋1到n的采样信号。即：

而信号的向前预测一点的计算表达式由下式表示：

向前预测多点可以多次调用式（9）来获得。其计算流程如图1所示。

图1 基于稀疏AR建模的信号模拟算法流程图Fig.1 The flow chart of signal imitation based on sparse AR model

2 实验验证

这里的主要研究对象是潮流信号，为了更好地验证AR模型在潮流预报中的优越性，建议选择在流况复杂区域采集潮流信号。另外为了保证该模型的可靠性和稳定性，以及实验和验证的需要，要求数据的时间序列长度不可太短，要大于1 000以上，实验选用的采样时间为10min。因为潮流数据是矢量，首先需将其分为北分量和东分量：

2.1 建立模型

这里选用MATLAB进行实验仿真，建立AR自回归模型和计算处理算法公式。以时间序列潮流的北分量或东分量信号｛χt｝（t＝1，2，…，n）为实验数据，建立多个自回归AR模型。考虑信号本身可能存在干扰，这里以小波去噪对原始信号进行预处理，采用的是启发式阈值函数形式（heursure），并设定为软门限阈值（s）处理，阈值门限是由小波去噪函数自动确定的。只根据第一层小波分解（sln）稀疏估计噪声水平，用sym8小波对信号作5层分解完成对信号的去噪。

在AR模型基础上，运用randn函数建立一个标准正态分布的矩阵作为测量矩阵，并进行归一化处理，目的是使该测量矩阵限定于一定范围，保证矩阵运行的收敛。然后根据压缩感知理论建立这个稀疏求解模型，以上述归一化处理矩阵为测量矩阵，将AR模型中建立的矩阵为基矩阵，与向量信号一起建立等式。

然后求解这个基矩阵的系数，这里选用OMP正交匹配追踪算法求解。通过该算法获取稀疏矩阵中与向量的相关度最大的列数，再通过多次循环，逐次求解与残差向量相关度最大的列数，最终求得这个稀疏矩阵的系数。

2.2 实验流程

实验以宁波光明码头某点的5m层的潮流为例，该码头位于宁波市北仑区穿山半岛北岸，该水域潮流涨落主要受螺头水道影响，因受局地凹槽地形因素影响较大，故流况很是复杂。

下面运用前文所建立的模型对该站数据进行实验验证（图2），实验过程中分别对模型阶数M选用了500、400、350、300、250和200，稀疏度K 分别为200、150、130、100、90、80、70、60和50，重复求解次数Dn从2到10分别进行调整，并通过对预报结果的方差进行比对，寻找最佳参数。

图2 光明站点AR模型验证Fig.2 AR model verification at Guangming station

从上述实验结果来看，在不考虑阶数、稀疏度和求解次数变化的条件下，运用该计算方法的北分量的预报均方差多数控制在9～11cm／s之间，出现大于11cm／s的值很少，大于11cm／s的情况出现过11次。因为受高斯随机测量矩阵的影响，该方差会受随机矩阵的变动存在变化，但总体来看，预报均方差值较为稳定。

通过计算会发现，稀疏度越小，计算速度就越快，当然求解次数越少，计算速度也越快。从阶数分析，在阶数变化中，方差结果存在变化，但变化不显著，基本也在9～11cm／s之间变动，也就是说回报结果基本稳定可靠。

3 AR模型与调和分析方法对比

AR模型预报方法是从“时域”角度进行分析，而调和分析方法是从“频域”角度进行分析，与前者分析的角度截然不同。调和分析方法将潮流信号看成是由多个不同振幅、不同频率、不同相位的正弦函数组成，该方法中潮流信号的长度及潮流信号的时间间隔将影响到函数频率的选择。

运用调和分析方法对光明站点进行回报（图3），回报均方差结果为15.207 3cm／s，比上述结果大4～5cm／s。仅从这两者结果来看，前者优于后者，可以适用。再对其他站点资料运行实验，回报均方差结果也显示两者相差不明显，AR模型优于调和分析。

图3 光明站点调和模型预报验证Fig.3 Harmonic forecast model verification at Guangming station

从细节图可知（图4），两种方法对极值点的预报，基于AR模型的预报方法明显优于调和分析方法，前者更遵从于实测数据，对极值潮位特别是多峰值的把握更为准确，而调和分析方法对多峰值则是进行光滑处理，从图形上看是更为漂亮，但对实际情况的描述则是略显弱势。对其它站点的实验也验证了这一特点。

图4 光明站点AR模型（a）和调和模型（b）验证细节图Fig.4 Detailed drawing of AR model（a）and harmonic model（b）verification at Guangming station

4 小结

通过多个站点的实验说明，基于AR模型的潮流预报方法具有一定的可行性，它与调和分析方法是对潮流分析的不同角度的解释，但它对潮流的描述在保留天体因素信号的基础上，更遵从于客观事实，特别是对潮流出现多峰值的把握更为准确。因此对于流况复杂水域，如回流明显的区域，运用基于AR模型的潮流预报方法有明显的优越性。

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