多段压裂水平井压力动态特征分析

赵超，肖洁，许正栋，吴友梅，丁志文，王一帆

（1.中国石油大学（石油）石油工程教育部重点实验室，北京 102249；2.中国石油华北油田公司勘探开发研究院，河北 任丘 062552；3.中国石油北油田公司采油工程研究院，河北 任丘 062552；4.中国石油塔里木油田分公司勘探开发研究院，新疆 库尔勒 841000）

致密气藏的天然气产量已占国内天然气总年产量的1/5左右，其开发也越来越受到重视。由于致密砂岩气藏具有低孔、低渗、裂缝发育等地质特征[1]，多段压裂水平井已经成为开发此类气藏的重要技术手段。目前，国内对压裂水平井的研究主要集中在预测稳态产能[2-6]，对压裂水平井非稳态渗流规律研究较少。国外学者发表了均匀流量裂缝、无限导流裂缝和有限导流能力裂缝井的非稳态渗流数学模型，并绘制了相应压力和压力导数曲线图版[7-13]，但这些研究大多假定裂缝具有无限导流能力和裂缝导流能力恒定。微地震监测和实验研究可以观测到压裂过程中复杂的裂缝网络，裂缝沿着延伸方向多数为不规则，因此沿着裂缝延伸方向导流能力不可能恒定不变。

笔者根据致密气藏地质特征，考虑人工裂缝变导流能力的影响，建立了致密气藏多段压裂水平井试井模型，应用数学物理方法获得了该模型的半解析解，分析应力敏感效应和变导流能力裂缝对压裂水平井压力动态特征的影响。

1 物理模型

裂缝沿x轴方向延伸，与y轴交叉，并沿y轴随机分布（见图 1）。将裂缝翼分成 N 等份，（xi，N，yi）为第 i条裂缝翼第N段的中点坐标。数学模型假设条件：1）致密气藏包含基质和裂缝的双重孔隙介质，而且顶底封闭，具有恒定厚度；2）每条裂缝由两翼组成，两翼可以不等长，每一翼具有不同导流能力，沿裂缝延伸方向，导流能力发生变化；3）气体在天然裂缝中的流动满足达西定律（由于基质渗透率很低，流体从基质向裂缝中的流动为拟稳态窜流），同时考虑天然裂缝应力敏感性；4）多段压裂水平井定产量生产，但每条裂缝产量不同；5）致密气藏的初始地层压力为pi，忽略毛细管力和重力的影响。

图1 裂缝沿水平井分布示意

2 数学模型

2.1 无因次参数

式中：m为拟压力，Pa/s；Kfi为天然裂缝初始渗透率，m2；h 为地层厚度，m；psc为标准大气压力，Pa；Q 为定产条件下的水平井产量，m3/s；T为地层温度，K；pi为初始地层压力，Pa；p 为压力，Pa；μ 为气体黏度，Pa·s；Z 为气体偏差因子；t为时间，s；φ 为孔隙度；Ct为压缩系数，Pa-1；为裂缝翼平均长度，m；λ 为窜流系数；α 为形状因子；ω为储容比；M为裂缝条数；为裂缝单位长度流量，m3/（s·m）；r为径向距离，m；FS 为天然裂缝距离；y为裂缝间距，m；qw为裂缝翼总流量；C为裂缝导流能力，μm2·m；w 为裂缝宽度，m；γ 为应力敏感系数，Pa-1。下标 D，f，F，m，sc 分别表示无因次、天然裂缝、人工裂缝、基质、标准状况。

2.2 气藏渗流数学模型

考虑气体从基质向天然裂缝流动为拟稳态窜流和天然裂缝系统应力敏感效应，根据真实气体状态方程、运动方程、连续性方程，可以得到天然裂缝和基质系统控制方程[13]。

无因次裂缝系统控制方程：

无因次基质系统控制方程：

无因次初始条件：

无因次边界条件：

应用 Petrobras代换[14]将式（1）线性化：

对ζD应用参数扰动，由于γD的值非常小，零阶扰动解可以满足精度要求，定义为

联立式（1）—（6），可以得到顶底封闭无限大地层中持续线源解[15]：

式中：K0为零阶虚宗贝塞尔函数；s为拉普拉斯变量。

根据叠加原理，N×2M 份裂缝微元段在点（xDj，yDj）处引起的压力降为

式中：N为裂缝翼微元段数。

2.3 裂缝渗流数学模型

流体在裂缝中流动满足无量纲不稳定渗流方程，通过拉普拉斯变换可得

无量纲边界条件：

无量纲初始条件：

对式（9）两边进行从0到xD的积分可得

将初始条件式（11）代入式（12）化简得

对式（13）进行0到xD积分。裂缝的一翼被分为N等份，第k份处的压力降可以表示为

假设裂缝每一微元段内流体均匀流入，则

裂缝内流体总流量等于各微元段流量之和：

联立式（14）—（16）可得

2.4 模型求解

在流动过程中，根据裂缝表面压力和流量的连续性条件可得

总流量为每条裂缝流量之和，即

联立求解可得到拉普拉斯空间中井底流压和裂缝内流量分布，然后通过Stehfest数值反演转换到实空间。根据式（5）可以得到考虑天然裂缝应力敏感时压裂水平井井底流压拟压力[16]：

3 典型曲线绘制及因素分析

以某致密气藏压裂水平井为例，研究考虑应力敏感和变导流能力裂缝时的压裂水平井压力动态特征。致密气藏基本参数：地层原始压力pi=29.289 MPa，定产气量生产，Qsc=104m3/d，地层温度T=379.14 K，气体黏度μ=0.027 mPa·s，气体相对密度0.627，水平井段长度L=1 000 m，裂缝间距ΔyF=300 m，裂缝条数M=3，裂缝翼长度LF=100 m，基质系统渗透率Km=0.05×10-3μm2，天然裂缝系统渗透率 Kf=50.0×10-3μm2，人工裂缝渗透率 KF=0.2×10-3μm2，窜流系数 λ=10-6，气藏厚度h=10 m，基质孔隙度φm=0.086，天然裂缝孔隙度φf=0.008 6，基质系统压缩系数 Ctm=1.08×10-4MPa-1，天然裂缝系统压缩系数Ctf=1.08×10-4MPa-1，储容比ωf=0.1，应力敏感系数γ=0.5 MPa-1。

3.1 流动阶段划分

根据建立的变导流能力裂缝多段压裂水平井试井模型，采用Stehfest数值反演，通过计算得到无因次拟压力和拟压力导数曲线（见图2）。

图2 无因次拟压力和拟压力导数曲线

从图2可知，对于变导流能力裂缝压裂水平井，气体流动阶段可以划分为7个：1）双线性流阶段，为斜率为1/4的直线段，流体从地层流向水力裂缝和从水力裂缝流向井筒同时进行。此阶段只有在考虑水力裂缝有限导流时才能被观察到。2）早期线性流阶段，为斜率为1/2的直线段，流体线性地由地层流入相应裂缝，压力波未传到相邻裂缝，裂缝之间没有干扰。3）过渡阶段径向流段，为斜率为1/2 M直线段，此段时间由裂缝长度和裂缝间的距离决定。4）过渡阶段线性流段，2个曲线平行，压力波到达相邻裂缝，不同裂缝间的干扰逐渐变得明显。5）早期拟径向流阶段，为斜率为1/2的直线段。窜流系数大小决定了该阶段时间的长短。6）拟稳态窜流阶段，拟压力导数曲线表现为一个“凹槽”，流体由基质向裂缝中窜流。窜流系数表示基质岩块向裂缝系统的流动能力。无因次应力敏感系数主要影响拟压力导数曲线的“凹槽”形状。7）晚期拟径向流阶段，不考虑应力敏感效应时，为斜率为1/2的直线段。考虑应力敏感时，拟压力导数曲线不再是水平直线，而是随着时间推移，不断“上翘”，表明压力下降更快。

3.2 变导流能力裂缝的影响

为了更加真实地反映多段压裂水平井实际裂缝特征，笔者建立的多段压裂水平井模型考虑裂缝的影响因素包括：各裂缝翼不等长、裂缝沿着水平井段非均匀分布、各裂缝翼导流能力不同且在每翼内沿着裂缝延伸方向导流能力发生变化（裂缝每部分导流能力都可以不同）。但为了便于研究沿着裂缝延伸方向导流能力的变化对压裂井压力特征的影响，选定参数绘制相应曲线时，假设裂缝各翼性质相同，且都由2种不同的导流能力组成。

图3、图4为低导流能力裂缝压裂水平井拟压力曲线和拟压力导数曲线。变导流能力裂缝在缝口（靠近井筒处）导流能力较低，在缝端具有较高导流能力。从图3可以看出，变导流能力拟压力和拟压力导数曲线在双线性流开始时，更加靠近x=100时（裂缝导流能力CFD=10）压力和压力导数曲线，表明此时流动主要受低导流能力部分裂缝的影响。但随时间增加，曲线逐渐靠近x=0时（裂缝导流能力CFD=500）曲线，表明流动逐渐由裂缝高导流能力部分控制。从图3还可以看出，随着x增大，由裂缝高导流能力控制流动出现时间推迟。

图3 不同长度低导流能力裂缝缝口下拟压力曲线

图4 不同长度低导流能力裂缝缝口下拟压力导数曲线

从图5、图6可知，随着x增加，拟压力和拟压力导数曲线逐渐从x=100（裂缝导流能力CFD=100）过渡到x=0（裂缝导流能力CFD=1）。由图6可知，变导流能力拟压力导数曲线更接近x=100时的拟压力导数曲线，因为缝口不仅是流动开始时气体从地层流入裂缝的主要通道，也是气体从缝端部分流入水平井筒的通道，对变导流能力曲线影响更大。另外，随着x增加，变导流能力裂缝总导流能力增加，早期拟径向流出现时间更早。

图5 不同长度高导流能力裂缝缝口下拟压力曲线

图6 不同长度高导流能力裂缝缝口下拟压力导数曲线

4 结论

1）综合考虑天然裂缝应力敏感和人工裂缝变导流能力的影响，建立了致密气藏变导流能力多段压裂水平井试井新模型，并通过将人工裂缝划分成不同微元段，获得了该模型的半解析解。与目前已有的压裂水平井试井模型相比，新模型考虑裂缝导流能力沿着裂缝延伸方向是变化的，更加符合压裂后裂缝实际情况。

2）根据新模型，绘制了典型无因次拟压力和拟压力导数曲线。按照典型曲线，气体流动可以划分为7个流动阶段，分别为双线性流、线性流、过渡阶段拟径向流、过渡阶段线性流、早期拟径向流、拟稳态窜流和晚期拟径向流。

3）分析了变导流能力裂缝对压力和压力导数曲线的影响。变导流能力裂缝主要影响双线性流、线性流和过渡阶段径向流。本文模型对致密气藏更加精确地进行试井解释具有一定指导意义。

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