新型水驱前缘解析法研究及应用

高文君，左毅，蔡喜东，白芳，马金兰

（1.中国石油吐哈油田分公司勘探开发研究院，新疆 哈密 839009；2.中国石油吐哈油田分公司鄯善采油厂，新疆 鄯善 838202）

0 引言

目前及今后较长一段时期，注水开采仍是开发砂岩油田的主要方式[1]。了解水驱油机理和深化其理论研究，是注水油田开发参数计算、动态分析及预测、数值模拟、后续开发方案制定及调整的基础[2-7]。在经典水驱油理论中，含水率是通过莱文莱特函数式确定的[8]。20世纪90年代中后期，国内统计发现，大多数油田在中高含水期油水相对渗透率比的变化规律比较符合指数式后，莱文莱特函数式便转化为以含水饱和度为自变量的Logistic解析方程式，该方程式（也称“S”含水饱和度曲线）也成为现阶段研究和建立各种水驱计算方法的理论基础[9]。但在高含水期，油水相对渗透率比与含水饱和度在半对数坐标图上并不呈线性关系，反映出指数式不适用于描述高含水期油水相对渗透率比变化规律。加上国内众多油田相继进入高含水期，需重新构建新的油水相对渗透率比关系和莱文莱特的解析式，来满足高含水期水驱开发指标计算和注水效果评价的需要。

国内外学者从不同角度相继提出的油水相对渗透率比关系式，主要有指数式、方次式、Willhite式，以及针对高含水阶段提出的Bing式、Song式和Liu式等改进型指数式[10-14]。其中，指数式以及改进型指数式还不能完全描述两相渗流区间的渗流特征。为此，本文在新的油水相渗模型基础上[15]，给出了一种新型的油水相渗比关系式——Gao简化式。该关系式在一定条件下可以转化为方次式和Willhite式。同时，结合Welge方程和莱文莱特函数式，推导出了其对应水驱油理论解析式，方便了注水开发指标的计算和经典图形的计算机自动绘制。

1 理论基础

1.1 分流量方程

不考虑毛细管力和重力的作用，利用达西式和连续方程，可得到分流量方程（即莱文莱特函数式）[8]：

式中：fw为含水率；Kro为油相相对渗透率；Krw为水相相对渗透率；μr为油水黏度比。

1.2 Welge方程

1952年，Welge给出了水驱前缘含水饱和度方程、前缘后平均含水饱和度方程和油井见水之后油层平均含水饱和度方程（也称Welge方程）[16]。随后又给出一种简单的求解方法（图解法），即在含水率与含水饱和度关系曲线上，从束缚水饱和度（点A′）作含水率曲线的切线，切点对应的含水饱和度（点B）即为前缘含水饱和度，对应含水率（点C）为前缘含水率；延伸切线与含水率为1.0的直线相交，其对应含水饱和度（点D）为前缘后平均含水饱和度（见图1）。

式中：fw′（Swf）为前缘含水饱和度时含水率的导数；fw（Swf）为前缘含水饱和度时含水率；分别为前缘含水饱和度、束缚水饱和度、前缘后平均含水饱和度、见水后油层平均含水饱和度、出口端含水饱和度；fw′（Swe）为出口端含水饱和度时含水率的导数；fwe为出口端含水率。

图1 含水率与含水饱和度关系

1.3 见水后其他衍生方程

驱油效率Ed的计算公式为

无因次累计产油量Npd（累计产油量与孔隙体积之比）的计算公式为

无因次累计注水量Wid（也称注入孔隙体积倍数）的计算公式为

式中：A为岩石渗流横截面积，m2；φ为孔隙度；L为注采井距，m；Wi为累计注水量，m3。

2 新型水驱前缘解析式的建立

从经典水驱油理论中容易看出，分流量方程是出口端含水饱和度的隐函数方程，其数值是通过某点出口端含水饱和度对应的油水相渗数据经分流量方程计算得到的，这样会得到一组出口端含水饱和度与含水率离散点。在确定水驱前缘饱和度时，先将含水饱和度与含水率离散点连接成光滑曲线，再根据图解法确定，过程比较繁琐、原始。若将离散的相渗数据点处理为油水相渗比为出口端含水饱和度的函数，那么，前面的分流量方程、水驱前缘含水饱和度方程、前缘后平均含水饱和度方程、Welge方程均依次转化成以出口端含水饱和度为自变量的函数，这样经典水驱油理论中利用图解法确定关键指标及参数就转化为利用数值分析法来确定。

将文献[15]中油、水相对渗透率模型直接相比，并取油、水相渗指数均为归一化含水饱和度Swd的一次线形函数，可得到一种新型油水相渗比关系式——Gao简化式：

式中：a，b，c，m，n 分别为待定常数；Sor为残余油饱和度。

2.1 分流量解析方程

将式（8）代入式（1），得到分流量解析式：

2.2 Sw分布函数、Swf方程及wbt解析式

对式（9）两边含水饱和度求导，并整理，得到含水饱和度分布函数解析式（或称含水率导数曲线）：

由式（10）可知，前缘含水饱和度方程即为

式中：Swfd为归一化前缘含水饱和度。

由式（2）和式（11）整理得：

很显然，式（12）转化成关于函数求解的问题。对于这个复杂函数式，可以采用数值分析中的二分法、梯度法、迭代法，或利用Excel中的单变量求解法来确定。

确定关键参数后，前缘后平均含水饱和度的解析式为

2.3 Sw，Npd及Wid解析方程

将式（9）和式（10）代入到水驱油基础理论式中，依次可以得到油井见水之后油层平均含水饱和度、无因次累计采油量和无因次累计注水量等解析方程。

2.4 驱油效率解析式

将式（14）代入式（5），得到驱油效率解析式：

3 实例应用

丘陵油田地层原油黏度为0.263 6 mPa·s，地层水黏度为0.367 8 mPa·s，属低黏低渗油田，其Ⅱ类储层标准油水相对渗透率数据见表1。

首先，按式（9）确定油水相渗比关系式的待定参数。从拟合结果可以看出，Gao简化式拟合程度最高，效果最优（见图2）。

表1 丘陵油田Ⅱ类储层油水相对渗透率数据

图2 丘陵油田Ⅱ类储层油水相对渗透率比变化曲线

其次，将确定的油水相渗比关系式代入分流量方程中，得到含水率与含水饱和度方程，并利用各自对应的解析式，计算出前缘含水饱和度、前缘平均含水饱和度、前缘含水率和驱油效率等（见表2）。从计算结果可以看出，不同方法确定的前缘含水饱和度基本分布在0.650 0左右，与图解法确定的0.628 2基本一致。因此，利用解析法确定前缘含水饱和度，可以减少人为因素的影响。

表2 不同方法确定丘陵油田Ⅱ类储层注水开发指标结果

最后，绘制经典含水率与含水饱和度曲线，标注切线、含水率导数曲线（见图3）。从所作的含水率与含水饱和度关系曲线特点来看，前缘含水饱和度并不位于含水饱和度分布函数的极值点，而是大于该极值点所对应的含水饱和度[13]。其原因是，含水饱和度分布函数是反映含水率随含水饱和度变化快慢的物理量，而前缘含水饱和度反映的是含水饱和度突变的点，突变点虽然含水率变化很大，但相比含水饱和度的变化就显得很小，所以含水率的导数就小。而在注入水“前缘”还未达到油井端时，由于毛细管力和重力的作用，油层底部提前见水，这时含水率增幅相比含水饱和度增幅大，含水率导数出现极值点。当油井端含水饱和度超过极值点之后，油层已进入完全水动力驱动阶段。因此，文献[17]提出的“前缘含水饱和度是含水饱和度分布函数的极值点”观点，值得进一步商榷。

图3 丘陵油田Ⅱ类储层含水率与含水饱和度关系

同时，利用分流量方程和无因次累计注水量解析式，可以作出含水率与注水孔隙体积倍数的曲线；利用驱油效率和无因次累计注水量解析式，也可作出驱油效率与注水孔隙体积倍数的曲线（见图4）。

图4 丘陵油田Ⅱ类储层水驱油效率曲线

根据这2条曲线，确定最终驱油效率为0.555 6，对应最大有效注入孔隙体积倍数为0.749 6，这与水驱油实验得到的最终驱油效率0.560 0相近。总之，将传统水驱油理论中的隐函数式转化成等效的含水饱和度解析式后，水驱指标计算会更加方便，各种经典图形绘制更易实现自动化。

4 结论

1）水驱油理论中，各种解析式均转化为含水饱和度的函数，有利于实现计算机编程和图形自动绘制。

2）利用相渗数据确定的前缘饱和度大于含水饱和度分布函数所对应的极值点含水饱和度，说明受重力和毛细管力的影响，水驱前缘处并不是含水率导数的极值点。

3）从丘陵油田应用效果来看，Gao简化式适应性较好，相关系数较高。

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