对Aronofsky渗吸驱油机理经验模型的推导

陈元千

（中国石油勘探开发研究院，北京 100083）

水驱开发的双孔隙介质油藏，又称双重介质油藏。由于致密和亲水基质存在的渗吸作用，在基质中形成了两相驱替流动。Aronofsky[1]于1958年提出的累积渗吸驱油机理经验模型，被许多文献所引用[2-7]。尤其是陈钟祥和刘慈群引用后[2]，他们提出的双孔隙介质两相驱替理论，受到普遍的重视和引用[8-14]。本文对Aronofsky的经验模型，以及陈钟祥和刘慈群引用后提出的经验模型进行了推导，赋予了2个经验模型理论依据。

1 模型回顾

对于水驱的双孔隙介质油藏，基质的毛细管力对裂缝中水的渗吸作用，形成了在基质中油水两相流动的驱油机理。Aronofsky[1]于1958年提出了累积渗吸驱油量和时间的经验模型：

陈钟祥和刘慈群[2]于1980年，将Aronofsky的式（1）改写为

其中

由式（2）对时间求导，得到陈钟祥和刘慈群用于建立双孔隙介质水驱油藏两相流动方程的渗吸驱油量的经验模型为

应当指出，从理论上讲，无论是 Aronofsky[1]的经验模型，或是陈钟祥和刘慈群[2]引用后提出的经验模型，对λ物理量的认识和理解，都是含糊不清，或是不准确的。例如：在Aronofsky的文章中，将λ注释为“λ is a constant giving the rate of convergence”；而在陈钟祥和刘慈群的文章中，将λ注释为 “表示渗吸强度的常数”。经过本文下面的推导可以明确得到，λ为渗吸驱油的递减率。

2 模型推导

对于双孔隙介质的水驱油藏，由于致密性基质的毛管力作用，在裂缝中形成油水两相的渗吸驱替流动。但随着基质中含水饱和度的增加，油的相对渗透率下降，致使渗吸驱油量随之降低。

引用Arps的递减概念，单位基质孔隙体积渗吸驱油的递减率，可表示为[15]

对式（5）分离变量，代入上下限积分：

由式（6）积分得，单位基质孔隙体积的渗吸驱油量随时间变化的关系式为

由式（7）可以看出，渗吸驱油量随时间的变化符合指数递减规律。

不同时间的累积渗吸驱油量与渗吸驱油量的关系可写为

将式（7）代入式（8）积分后得，单位基质孔隙体积累积渗吸驱油量与时间的关系为

当t→∞时，由式（9）得，单位基质孔隙体积的最大累积渗吸驱油量，即可采储量为

由容积法表示的单位基质孔隙体积渗吸驱油的可采储量为

由式（10）和式（11）相等得：

将式（12）代入式（9）得，单位基质孔隙体积的累积渗吸驱油量与时间的关系为

由式（13）对时间求导得，单位基质孔隙体积的渗吸驱油量与时间的关系为

由容积法可以写出，单位基质孔隙体积内原油的地质储量为

将式（15）代入式（13）得 Aronofsky 的原式，即为本文的式（1）。将式（11）代入式（14）得陈钟祥和刘慈群引用 Aronofsky[1]经验模型后提出的关系式[2]，即为本文的式（4）。

为了对渗吸驱油模型进行无因次分析，设如下2个无因次量。

无因次时间：

无因次渗吸驱油量：

根据式（16）和式（17），由式（7）可以写出无因次渗吸驱油量与无因次时间的关系式为

在图1上绘出了qD，RD与tD的关系。由图1可以看出：在tD＜2时，qD随tD的增加很快下降，当tD=5时，qD趋近于0；在tD＜2时，RD随tD的增加很快上升，但当tD=5 时，RD趋近于 1。

3 结束语

对于由裂缝和基质组成的双孔隙介质水驱油藏，Aronofsky提出的累积渗吸驱油模型，以及由陈钟祥和刘慈群引用后提出的渗吸驱油模型，具有重要的理论价值和实际意义，但因缺少理论上的推导而显得不足。本文完成了这一推导，为建立双孔隙介质水驱油藏，渗吸驱油的两相流动方程，提供了理论基础。然而，应当指出， 本文推导所得的式 （13） 和式 （14）， 相比Aronofsky 的式（1），以及陈钟祥和刘慈群的式（4），更为清晰易懂。

图1 qD和RD与tD的无因次关系

4 符号注释

N为单位基质孔隙体积内原油的地质储量，m3；NR为单位基质孔隙体积内原油的可采储量，m3；ER为单位基质孔隙体积内渗吸驱油的采收率，f；Np为单位基质孔隙体积的累积渗吸驱油量，m3；λ为渗吸驱油的递减率，d-1；t为渗吸驱油的时间，d；tD为无因次时间；qo为 t0时间的渗吸驱油量，m3/d；qoi为初始理论的渗吸驱油量，m3/d；φm为基质的有效孔隙度，f；Swim为基质的原始含水饱和度，f；qD为无因次渗吸驱油量；Boi为基质孔隙体积内原油的原始体积系数Rm3/STm3；RD为可采储量的采出程度，f。

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