从“解决问题的策略”中谈模型思想的教学

时珊珊

【关键词】解决问题 数学模型

数学问题

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）02A-

0045-02

关于数学模型，有着不同的描述，但不管怎样的表述，数学模型的核心是一种数学结构，是用数学语言概括或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。2011年版的数学课程标准首次将模型思想作为核心概念予以呈现，而且是作为10个核心概念中唯一一个以“思想”指称的概念，它的出现一方面是对“四基”之一的“数学基本思想”作出的回应，一方面也显示着数学走向深刻的重要。然而尽管从出现之日起，已有三年有余，但许多一线教师对于它的基本内涵、教育价值、实践路径等方面还是茫然若失。为此，本文就以“解决问题的策略”为例谈“模型思想”的教学。

一、从生活问题引出数学问题，让学生初步感受模型的雏形

数学模型是一种抽象的数学结构，这种属性决定了还处于心智发展阶段的小学生难以从抽象的角度去理解模型（数学结构）的意义，也难以从数学的角度去提炼、建立数学模型，进而运用它解决数学问题。在这样的状况下，就迫切需要我们的数学教学必须从学生的“认知图式”出发，让学生在生活积累的基础上，从形象到抽象，从具体与模型，初步感悟数学模型的意义与步骤。

例如“解决问题的策略”中的“倒推模型”的感悟。倒推是一种逆向思维，也是一种重要的数学方法。在对“倒推”这一模型的分析中，我们可以看出：它有三个核心要素：原来状态、变化过程与结果。尽管这三个要素的表述简洁明了，但小学生很难内化到自己的数学思维逻辑中。为此，笔者在教学时，首先创设“放学回家”这一学生熟知的问题情境，让学生在生活情境中“理顺”返回的思路，帮助学生初步感受“逆向思维”与“顺向思维”的不同。接着将其迁移到例题的教学中，引导学生通过文本提供的信息，抓住关键要素——“变与不变的量”，先根据“变化的结果”推算出甲乙两杯现有的果汁量，再由“变化的过程”还原“原来甲乙两杯果汁量”，最后得出“原来的状态”——各有多少果汁量。这样学生在运用数字与符号的还原过程中，建立了数学符号与提示信息之间的联系，初步感受“原来状态、变化过程和结果”的结构模型（如下图）。

二、从数学问题进入数学模型，让学生逐渐掌握模型的建构

建模是模型思想中的关键步骤，是联系实际问题与数学方法的桥梁。当学生初步感受模型的雏形后，就要引导学生逐步掌握模型建构的步骤，帮助学生根据所提供的信息，用数学的语言、符号、思想和方法逐步建立数学模型。

例如“解决问题的策略”中“列举模型”的建构。例题：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈，有多少种不同的围法？笔者的教学步骤是这样的：

（1）首先要帮助学生分析题目要求——“有多少种不同的围法？”解决此题就意味着要罗列出所有的可能出现的结果，这就迫切需求一种策略——一一列举;（2）引导学生如何进行“列举”，长方形不外乎长、宽两个要素，长与宽的不同，就有不同的围法，那么在周长是18米的前提下，“长与宽”可能有几种情况呢？先引导学生进行单个列举：“假如宽是1米，那么长是8米;假如宽是2米，那么长是7米……”然后进行“逐一列举”，直到把所有符合条件的都列举出来（如下表）。（3）筛查

列举。引导学生剔除重复的列举，当列举到“宽是5米”的时候，要引导学生进行辨析，“长4米、宽5米”的长方形与“长5米、宽4米”的长方形形状一样，显然这样的长方形是重复的，最后得出四种围法（如下表）。

通过三步将“一一列举”呈现在学生面前，使学生渐渐掌握运用数学语言和符号分析问题、解决问题的数学模型。

三、从数学模型走进生活世界，让学生全面领会模型的运用

弗赖登塔尔曾说过：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。”是呀，数学是从生活中来，又到生活中去，这既是数学的源头，又是数学的使命。我们教师只有帮助学生将数学模型运用到实践生活中，才能真正地促进数学的发展，才能真正地发展他们的数学能力。

例如“解决问题的策略”中“转化模型”的生活运用。转化是解决问题的一种策略，就是将复杂的问题变成较简单的问题的一种手段，即通过“统一单位数据”的增加、减少、置换等手段来实现“化繁为简”，进而解决问题。通过教材内容的学习，学生基本理解这一模型的操作运用思路，但只有将这一模型运用到现实生活中，才能真正帮助学生全面地领会这一模型的价值。首先运用“转化模型”来解决常见问题，如“解决一张纸的厚度、一枚硬币的体积、一个灯泡的容积;其次要运用这一模型来解决现实问题，如：有16支足球队参加比赛，比赛采用单场淘汰制，一共要进行多少场比赛才能产生冠军？这样通过实践运用，一方面可以加深学生对转化模型的认识，一方面还可以帮助学生体验到数学与生活的相互关系。

总之，数学模型的建构与运用在“解决问题的策略”中只是一个开始，我们只有在“数与代数、图形与几何、统计与概率”等领域全面进行渗透，才能让数学模型真正成为学生的内在能力，从而服务于生活。

（责编 黄珍平）