基于CASIO计算器的辛普森公式法曲线计算

刘锋++张晓雅++谢媛媛++王雪

摘要：根据实际需要，采用定积分公式推导出线路曲线中线点坐标的积分公式，然后采用复化辛普森公式给出其数值积分式。在此基础上给出了求线路中线以及边线坐标计算的CASIO计算器程序。并对程序进行了说明，CASIO计算器的辛普森公式法曲线计算大大提高了工作效率。

关键词：辛普森公式 曲线元 坐标 切线方位角

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2014）12-0114-01

1 引言

目前在铁路、公路曲线的中、边桩计算中主要采用泰勒级数展开公式进行计算。在计算不同曲线元时就需要采用不同的计算公式，这就导致采用计算器计算大大不便。当计算卵形曲线或曲线的半径较小时，计算误差会较大，需要较多的泰勒级数展开项才能保证精度，这就导致公式繁杂又增加计算难度。而采用辛普生通用公式进行计算就非常简便，该公式能用于任意的直线段、圆曲线段、缓和曲线段的中、边桩坐标计算。

2 辛普森通用公式推导

一般线路都是由直线、缓和曲线、圆曲线组成。而这三种线型的曲率都是随弧长作线性变化的，所以可用曲线元代表三种线型中的任意一种。已知弧长为l的任意点i的坐标的积分公式可表示为：

（1）

式中XA、YA为曲线元起点的坐标，αi为曲线元上i点的切线方位角，其计算公式为：

（2）

式中αA为曲线元起点切线方位角，PA为曲线元起点处的曲率，PB为曲线元终点处的曲率，L为曲线元总长度，l为任意点i距曲线元起点的弧长。±表示曲线元的左右偏向，左偏时取“-”，右偏则取“+”。αA、αi单位均为度。

将式（2）代入式（1），采用复化辛普森公式给出其数值积分式为：

（3）

式中m为积分区间等分数n的一半，α2K-1为曲线元上n等分点处的切线方位角，α2K为曲线元上n/2等分点处的切线方位角。

复化辛普森公式具有如下特点：适用于直线、缓和曲线、圆曲线，计算精度可控制，精度随积分区间等分数n的而变化，可以根据实际需要选用合适的n值以确保计算精度和计算效率，计算方向是可逆的，即可以沿里程递增方向计算也可以沿里程递减方向计算。

3 程序实现

根据实际计算所需要的参数，编写程序时定义如下变量：A-曲线元起点A的坐标；B-曲线元起点B的坐标；C-曲线元起点A的切线坐标方位角；F-曲线元起点A的里程；G-曲线元起点B的里程；H-曲线上待求点i的里程；D-曲线元起点A的曲率；E-曲线元终点B的曲率；XL-左边线点位X坐标；YL-左边线点位Y坐标；XR-右边线点位X坐标；YR-右边线点位Y坐标；X-中线点位纵坐标；Y-中线点位横坐标；DL-左边线距中线平距；DR-右边线距中线平距。程序见表1。

程序说明及需要输入的数据项：（1）曲线元起点A的施工坐标和切线坐标方位角，计算器显示为“XA”，“YA”，“CA”；（2）曲线元起点A和终点B的曲率，计算器显示为1/RA，1/RB（曲线左偏时取“-”）；（3）曲线元起点A和终点B的里程，计算器显示为“DKA”，“DKB”；（4）输入待求点里程和该点距中桩左右的水平距离，计算器显示为“DKI”，“DL”，“DR”；每算完一个点的中线及边线坐标，直接输入下一点的“DKI”，“DL”，“DR”，当输入的“DKI”大于“DKB”时，程序计算下一个曲线元，只要输入下一曲线元的起点的曲率和里程即可。

4 结语

通过对不同类型线路曲线测量通用公式的推导及程序实现，使得曲线计算变得灵活、简便，不但解决了常规计算方法不具备通用性的问题，并且避免了传统计算中复杂的多次坐标平移及旋转过程，使用辛普森通用公式使计算工作进一步简化， 解算步骤清晰明了，而且使得计算精度可根据曲线半径大小进行控制，具有很强大的实用性，CASIO计算器程序的应用在工程实践中大大提高了计算效率。

参考文献

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[2]李青岳.工程测量学[M].北京：测绘出版社，1984.

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