运用化归转化的三个要点

化归转化就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到目的的一种方法.一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.

条件转化要全面

例1 函数[f（x）]的定义域[D={x|x≠0}]，且满足对于任意[x1，x2∈D]，有[f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）].

（1）求[f（1）]的值；

（2）判断[f（x）]的奇偶性并证明；

（3）如果[f（4）=1]，[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，且[f（x）]在（0，+∞）上是增函数，求[x]的取值范围.

分析 由抽象不等式转化为一般不等式的过程中，一定要注意到定义域和单调区间，不能认为[f（x）]在定义域[D]上单调递增.

解 （1）令[x1=x2=1]，

有[f（1×1）=f（1）+f（1）]，解得[f（1）=0].

（2）[f（x）]为偶函数，证明如下：

令[x1=x2=-1]，有[f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）]，

解得[f（-1）=0].

令[x1=-1]，[x2=x]，有[f（-x）=f（-1）+f（x）]，

∴[f（-x）=f（x）]，∴[f（x）]为偶函数.

（3）[f（4×4）=f（4）+f（4）=2]，

[f（16×4）=f（16）+f（4）=3].

由[f（3x+1）+f（2x-6）≤3]，

变形为[f[（3x+1）（2x-6）]≤f（64）].①

∵[f（x）]为偶函数，

∴[f（-x）=f（x）=f（|x|）].

∴不等式①等价于[f[|（3x+1）（2x-6）|]≤f（64）].

又∵[f（x）]在（0，+∞）上是增函数，

∴[|（3x+1）（2x-6）|≤64]，且[（3x+1）（2x-6）≠0].

解得[-73≤x<-13]或[-13