浅谈高中数学分类讨论思想的运用

在高中数学中，分类讨论思想是一种常见的且比较重要的数学思想方法。分类讨论思想贯穿于整个高中数学阶段，不管是平时的练习中，还是大型的考试中，都会遇到这类思想方法。接下来，笔者就结合自己的教学实践和经验来谈谈高中数学中分类讨论思想的有效运用策略。

一、分类讨论思想概述

1、分类讨论思想的含义

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路就是将一个较复杂的数学问题分解或分割成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。分类讨论思想就是对问题实行分类与整合，其分类标准等于增加一个已知条件，这就实现了有效增设，将大问题或综合性问题分解为小问题或基础性问题，优化解题思路，降低问题难度。

2、分类讨论的类型

（1）由数学概念引起的分类讨论。有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论.有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

（3）由数学运算要求引起的分类讨论。如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。

（4）由图形的不确定性引起的分类讨论。有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等。

（5）由参数的变化引起的分类讨论。某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

（6）由实际意义引起的讨论。此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用。

二、分类讨论思想的运用——实例分析

题型一：三角题中对角范围的讨论

例：在△ABC中，已知sinB=，a=6，b=8，求边c的长.

解：sinB=，a

分析： 在三角形中，内角的取值范围是（0，π），b>a，cosB=±，则B可能是锐角也可能是钝角，故要分两种情况讨论

题型二：求函数最值时对所含参数的讨论

例：函数f（x）=x2-2ax+1在区间[-1，1]上的最小值记为g（a），求：

（1） g（a）的解析式;

（2） g（a）的最大值.

解：（1） f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2.当a≤-1时，函数f（x）在[-1，1]上单调增，g（a）=f（x）min=f（-1）=2+2a;当a≥1时，函数f（x）在[-1，1]上单调减，g（a）=f（x）min=f（1）=2-2a;当-1

（2） 当a≥1时，g（a）=2-2a单调减，g（a）max=g（1）=0;当-1

解关于x的不等式>1（a∈R且a≠1）.

解：原不等式可化为>0，

当a>1时，原不等式与（x-2）>0同解.

由于=1-<1<2，

∴ 原不等式的解为∪（2，+∞）.

当a<1时，原不等式与（x-2）<0同解.若a<0，=1-<2，解集为;若a=0时，=1-=2，解集为空;若02，解集为.

综上所述，当a>1时不等式解集为∪（2，+∞）;当0

题型三 "数列计算（或证明）时对公差或公比的讨论

例：设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sngt;0（n=1，2，…）.

（1） 求q的取值范围;

（2） 设bn=an+2-an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小.

解：（1） 因为{an}是等比数列，Sngt;0，可得a1=S1gt;0，q≠0.当q=1时，Sn=na1gt;0;当q≠1时，Sn=>0，即>0（n=1，2，3，…），

∴ 或

由于n可为奇数，可为偶数，故q>1或-1

综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）.

（2） ∵ bn=an+2-an+1=an（q2-q），∴ Tn=（q2-q）Sn.

∴ Tn-Sn=（q2-q-1）Sn=Sn.

又Sn>0，-10，∴ 当-1时Tn>Sn;当

分析：等差、等比数列的通项、前n项的和是数列的基础，已知一个数列的前n项和求其通项时，对n=1与n≥2要分别予以研究，而涉及等比数列求和或用错位相减法求和时，要对公比q是否为1进行分类讨论.

分类讨论思想的运用还有几个方面，在这里就不过多赘述了，以上的几个实例是比较典型的，希望笔者的这点内容能起到抛砖引玉的作用，希望更多的一线教师提供更多的精彩内容。

（作者单位：江苏省金湖中学）