祖冲之的圆周率算法的一种猜测

众所周知，祖冲之（公元429—500）是一位古代大数学家，科技史界对他非常重视自不用说，甚至文史界对他也会有特别的关注。例如在1933年北京大学的入学语文试卷中，文史大家陈寅恪就以“祖冲之”为答案，拟出一道以“孙行者”为上联求对下联的试题。有趣的是，有些学生以当时的北大校长“胡适之”作答，也获得了阅卷者的首肯。

祖冲之所撰的数学著作名为《缀术》，《隋书》说《缀术》共有6卷，“学官莫能究其深奥，是故废而不理”。唐朝时《缀术》只有5卷流传，从一个侧面证明《隋书》所说不错，《缀术》有些内容连其他学者都读不懂，所以在唐朝就已经有1卷失传。从记载看，《缀术》大约在唐朝末期完全失传，因而祖冲之到底有多少了不起的数学成就，后人再也无从知晓。但据《隋书·律历志》记载，我们确知祖冲之通过他的计算得出了圆周率在3.1415926与3.1415927之间的结果。这个结果是古代圆周率计算中最杰出的成绩，仅凭这个结果，祖冲之就有资格进入伟大的古代数学家的名单。可惜的是，我们已经不可能确切地知道祖冲之得到这个结果的数学方法。

对于祖冲之如何得到上述结果这个问题，现代数学史专家已经作出了很多种推测。但是，我觉得我所见到的几种推测都不是很合理，因此我将在本文中给出自己的推测。

首先，刘徽所注的《九章算术》是其后所有中国古代数学家最重要的参考著作，因此我们可以肯定祖冲之计算圆周率时必然会参考刘徽的“割圆术”。刘徽利用圆的内接正6·2″边形的边长和面积来估算圆周率的近似值，在计算到圆内接正192边形时，通过插值估计，得到圆周率的近似值为3.1416。然后，刘徽又用圆内接正3072边形的面积验算，得到相同的结果。

很容易想到，一种改进的做法是在考虑圆的内接正6·2″边形的同时，也考虑其外切正6·2″边形。计算可知，同时应用内接与外切正多边形，在计算到正3072边形时，可以得知圆周率值介于3.1415921与3.1415937之间。简单分析可以发现，同时应用圆的内接与外切正6·2″边形的面积估算圆周率的近似值，结果并不比用边长精确。由于以上所列的估计值与祖冲之所得结果相比还有一些差距，我们因此推测：祖冲之并不仅仅是用正多边形的边长或面积来计算圆周率的值。

在使用算筹进行运算的时代，极为繁复的计算是非常非常困难的。刘徽以圆内接正192边形为圆周率计算的主要依据，最后计算到圆内接正3072边形，而祖冲之又肯定深受刘徽的影响，因此我们假定：祖冲之很可能用圆内接正192边形或者384边形做圆周率估算，最多计算到正3072边形。那么，祖冲之应该用什么样的方法，才可以在这个计算范围内得到他那个了不起的结果呢？

刘徽用圆内接正192边形的边长来估计圆周率时，使用了一个理论上错误的比例插值估计，但这个插值结果的精确度与使用内接正3072边形面积估计的圆周率相当接近。刘徽指出的这个事实，肯定给予祖冲之很大的启发。因此，我们猜测祖冲之肯定会寻找更好的插值算法。我们推测，祖冲之的插值方法的关键在于“缀”字！祖冲之所著的书名为《缀术》，其中“缀”字有“连缀”、“补缀”之意。祖冲之以“缀”为书名，可能是指其书对《九章算术》的“补缀”之功，对古代数学知识片断的“连缀”之力。但是，祖冲之的数学成就中只有圆周率计算被《隋书》所记载，可见圆周率计算在《缀术》中的重要地位。因此，书名《缀术》很可能也反映了祖氏计算圆周率的方法。我们因此推测，祖冲之把圆的内接与外切正多边形相互损益、补缀，用这个补缀的结果来估算圆周率。

现在的问题是：祖冲之可能怎么使用圆的内接与外切正多边形来补缀出圆面积？从圆弧的“凸”形容易知道，以圆的内接与外切正多边形面积的平均值作圆面积的近似，所得的结果会略小于圆面积的真值。因此，祖冲之可能采用非平均的、偏重于外切正多边形的补缀方式进行计算。具体地说，我们认为祖冲之可能使用1/3内接正多边形面积加上2/3外切正多边形面积来计算圆面积的近似值。

为什么是1/3和2/3，而不是其他（比如2/5和3/5）数值？我们没有任何过硬的依据。也许祖冲之有自己的推算和论证，也许只是因为1/3和2/3是最简单而偏重于外切正多边形的、非平均的补缀方式。值得指出的是，l/3和2/3在古代是2个很特殊的分数，它们拥有专门的名称，分别称为“少半”和“太半”。这2个分数的特殊性，有可能是祖冲之采用上述这种补缀方式的原因之一。

总之，祖冲之所著的《缀术》在隋唐时已经“学官莫能究其深奥”，“是故废而不理”，更加不幸的是《缀术》早已失传，因此对其算法我们只能猜测。然而，尽管证据不足，我们这里的推测是一种以刘徽的割圆术为基础的、算理与“缀”字的字义相契合的、并且采用古代数学中简单而特殊的分数的算法。因此，猜测祖冲之采取这种算法，是一个合情合理的推断。

无论猜中与否，下面我们就以这种补缀算法来计算圆周率。假设我们（或者祖冲之）从单位圆的内接正6边形出发，以上述内接及外切正6·2″边形的面积的补缀方法来估算单位圆面积。在左图中，我们画出单位圆与其内接及外切正6边形关系图的六分之一。

将这个算法用计算机编程进行计算，我们得到如表1结果。

从表1中可以发现，只要计算到正384边形，就可以得到圆周率约等于3.141592655。再比较计算正192边形及正768边形时所得的圆周率值，就不难断定圆周率应该在3.1415926与3.1415927之间。由此可见，无论祖冲之是不是采用这种算法，它都是一种能够快速得到圆周率高精度近似值的方法。

那么，读者也许会问：这种方法为什么能够很快得到圆周率的高精度数值？事实上，大学1年级所学的一元微积分就可以回答这个问题：应用三角函数的麦克劳林展开式，可以发现这种估计的误差是扇形圆心角的五阶无穷小，而这正是其结果能很快逼近圆周率的根本原因——由于具体内容涉及高等数学，我们就不详细介绍了。

从上面的计算可知，如果祖冲之用上述方法估算圆周率，则他计算到圆内接192边形或384边形时，就可以得到远比刘徽精确的圆周率估计！猜测虽然仅仅只是猜测，但无论我们是否猜中祖冲之的算法，本篇都是很有趣的：它不仅给出一个合情合理的猜测，而且提出了一种以刘徽割圆术为基础的、计算简单而又逼近速度极快的圆周率估算法。